紙つまりのトラブルに困っています

リンク先の要領で対処してみてはいかがでしょうか？
また、ピンセットや掃除機などで取り出しを試みてみてはいかがでしょうか？
強力な粘着テープでくっつけてみたり・・・。
厚紙を電源を切った状態で中途半端にトレイにセットし、電源を入れて自動的に紙送りさせてみてはいかがでしょうか？（可能ならば）

①本製品のプラテンを清掃する
②排紙ローラーを清掃する
③ベースパッドを清掃する
④給紙ローラーを清掃する
⑤それぞれの用紙トレイの給紙ローラーを清掃する
⑥ドライバーやアプリを入れ直す
⑦電源を入れ直す（コンセントを抜き長時間放電）

上記対処を行った上で、紙詰まりが見当たらないのに紙が送れなかったり紙詰まりエラーが消えない場合は異物噛み込みや内部に紙片がはさまっていたり、内部部品の損傷や不具合であったり、
給紙ローラーや排紙ローラーの内部部品のローター軸劣化による不具合やセンサー故障で本来修理となるべき故障の可能性が高いです。

【レーザー プリンター】紙詰まりの取り除き方
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9956

【レーザー プリンター】紙がすぐに詰まる・詰まりやすい
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10354

【レーザー プリンター】詰まった紙が取れない、紙詰まりを除去してもエラーが消えない
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10353

【レーザー プリンター】お困りごとナビ　レーザープリンター・複合機紙が詰まったり、紙が送れない
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13072

【レーザー プリンター】給紙ローラーの清掃方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10371

【インクジェット/レーザー プリンター】「用紙がありません」と表示されました
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9249

(動画)多目的トレイに封筒をセットする方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10730/

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll3230cdw
こちらですね。

【レーザー プリンター】詰まった紙が取れない、紙詰まりを除去してもエラーが消えない
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10353
【MFC-L3770CDW/HL-L3230CDW】紙詰まりの取り除き方
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9945
などを参考にしてみるとか。

紙が破れて破片が残って取れない場合や、紙詰まりを確認しても紙詰まりのエラーが消えない場合は、 修理が必要です。

と書いてはいるのでピンセットなどで少々強引に引っ張り出すなどするよりは素直に修理に出すしか無いかも。

カラーレーザー/LED プリンター・複合機の修理サービス
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/color_laser/index.aspx