スキャンができない！ワイヤレス印刷機能だけでは不安

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj577n&os=10013
ユーティリティソフトウェアのアンインストールツールでドライバーのアンインストールします
　　　↓
ルーター経由でパソコンと接続する
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j572/wlan_jp/pc/lan/index.html
製品に同梱されているCD-ROMは使いません
使えない場合は、こちらからフルパッケージインストーラーをダウンロードしてください。

フルパッケージインストーラーのダウンロード←ここでDCP-J577Nを選びます
ダウンロードしたフルパッケージインストーラーのファイルをダブルクリックで起動してください。

2. 動画を見ながら、パソコン側の設定を行なってください。動画通りに進んだら、次の手順へ進んでください。

後は画面の説明と指示に従えば出来ると思います

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj577n
こちらですね。

https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj577n
「かんたん操作ガイド」の15ページにあるようにプリンタ本体の操作パネルからスキャンしてPCに保存しようとしているのでしょうか？

であれば現在インストールしているドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切りPCを再起動して

フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj577n&os=10013&dlid=dlf104549_000&flang=1001&type3=11
を再インストールしましょう。
その中に含まれているControlCenter4ってソフトがプリンタ本体の操作パネルからスキャンしてPCに保存する際の制御を行っているのでControlCenter4も再インストールすれば改善しそうな気はします。

パソコンが間違っている　という事はないかな？
接続しているのは無線LANだけでしょうか？
表示されるのはスキャン実行後でしょうか？

私の使うDCP-J968NはUSB接続していると無線接続パソコンが表示されない　USB接続パソコンしか指定できないので　無線パソコンが表示されるものの実施できない場合はインストール順なのかも知れません

１台の複合機ではありますが印刷とスキャンは別々のドライバーが適用されネットワーク接続先も個別に設定されますので　スキャンドライバーの不具合が発生しているのかも知れません

パソコン保存が有効になる利用環境であれば　プリンタードライバーを新規インストールからやり直す必要があるように感じます
プリンター側もリセットした方が確実かも知れません

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

また、Windowsの自動アップデートにより、至る所であらゆる影響を受けている模様です。
今回その影響かどうかはわかりかねますが、付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直す事により改善する可能性があります。

・プリンター本体の操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用する
　※コントロールパネルでのアンインストールツールを試してみる
　※セキュリティソフトを一時停止する
　※フルパッケージではなく、一つ一つインストールする
　※付属CDを使用してみる
　※高速スタートアップにチェックが入っていたらチェックを外して再起動
　※プリンター本体を購入時状態に初期化する

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx