「DCP-J926」でふちなし印刷ができない問題について相談

ブラザーオリジナルプリンタードライバーはインストールされておりますでしょうか？

[スタート]-[設定]-[デバイス]-[プリンターとスキャナー]-[管理]-[印刷設定]でフチなしにチェックを入れられているのでしょうか？

それでも印刷できないのであれば、お使いのOS・プリンター・ハガキアプリのいずれかの相性問題で対応しきれないとあきらめるしかなさそうです…。プリンタードライバーを入れ直しではブラザー公式のアンインストールツールを使用されましたか？

以下ページが参考になりますでしょうか？

インクジェット プリンター】筆ぐるめの印刷設定方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13344

インクジェット プリンター】筆まめの印刷設定方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13358/

【インクジェット プリンター】ふちなし印刷についての注意点
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13170/

【インクジェット プリンター】Microsoft®Wordでのふちなし印刷の設定方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13357/

ふちなし印刷ができない
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http://sblog.brother.co.jp/weblog/2020/11/post-78e9.html

また、解決された方でこのような回答を得られましたのでご参考までに。
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プリンターのフチなし印刷をするのではなく、
Wordのページ設定→サイズから「ハガキ（ふちなし）」を選択することで周囲の3mmの余白をなくしてフチなし印刷をすることができました。
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【インクジェット プリンター】Microsoft®Wordでのふちなし印刷の設定方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13357/~/%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88-%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%80%91microsoft%C2%AEword%E3%81%A7%E3%81%AE%E3%81%B5%E3%81%A1%E3%81%AA%E3%81%97%E5%8D%B0%E5%88%B7%E3%81%AE%E8%A8%AD%E5%AE%9A%E6%96%B9%E6%B3%95

ふちなし印刷の設定が表示されなかったり選べない場合は、ブラザー製オリジナルドライバーがインストールされていない可能性があります。
下記からプリンタードライバーを入手してインストール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj926n&os=10013
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください