MFC-J739DNのハガキ印刷時の紙送りにガガガ音が発生するトラブルの原因と解決方法

以下ページなどは参考されましたでしょうか？

電源を切り、内部ローラーの清掃（給紙ローラーや排紙ローラー）や内部部品の付着する箇所を清掃してみてはいかがでしょうか？
内部ローラーの清掃など行った上で、紙詰まりが見当たらないのに紙が送れない場合は異物噛み込みや内部に紙片がはさまっていたり、内部部品の損傷や不具合であったり、
給紙ローラーや排紙ローラーの内部部品のローター軸劣化による不具合やセンサー故障で本来修理となるべき故障の可能性が高いです。
ほとんどの場合がローラーにホコリ・ゴミ・インク付着物・紙くずなどが付着して摩擦抵抗力が弱っていることが多いです。
新品の場合ですと、梱包材や固定テープを外していないためにエラーが生じることもありますが、そうでなければ初期不良の可能性が高いですね。
指で気持ちサポートする形で押してあげるとうまくいったりするケースもあるようです。
制御的な問題であれば、ファームウェアを最新の状態にしたり、プリンタードライバーを入れ直しで解決かもしれません。

【インクジェット プリンター】給紙ローラーの清掃方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10620

給紙ローラーを清掃するには。
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10614/

【インクジェット プリンター】詰まった用紙が取れません/詰まった用紙を取り除いたのにエラー表示が消えません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10154

【インクジェット プリンター】印刷した文字が、二重にぶれたりします（エンコーダーの清掃方法）
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10632

【インクジェット プリンター】ハガキがうまく給紙されません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13351/

プリンターや複合機から異音がするときの原因と対処法
https://printing.ink-revolution.com/purikaku/causes-of-printer-noise-and-remedies/
ガガガという大きな異音
詰まり、引っ掛かりを感じるような異音がした場合、ギアのかみ合わせが悪くなっているかもしれません。
用紙カセットが正しく設定されていないことがありますので、再度設定をしなおしてみましょう。

【インクジェット プリンター】給紙ローラーの清掃方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10620

年賀状がうまく給紙されないときは
https://www.youtube.com/watch?v=ouQd3yIrHnI

【インクジェット プリンター】ハガキがうまく給紙されません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13351/~/%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88-%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%80%91%E3%83%8F%E3%82%AC%E3%82%AD%E3%81%8C%E3%81%86%E3%81%BE%E3%81%8F%E7%B5%A6%E7%B4%99%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%BE%E3%81%9B%E3%82%93

直らない場合は修理に出しましょう
【インクジェット プリンター】オンライン修理申し込み
MFC-J739DN
https://myportal.brother.co.jp/ContactUs/RepairRequest1.aspx?model=MFC-J739DN&type=public&repairType=normal
16,500円(税込)＋送料（お手軽引取サービス）2,750円(税込)
19,000円程度かかります

プリビオ MFC-J739DN
https://kakaku.com/item/K0001371960/
最安価格(税込)：
¥25,660

はがき給紙に失敗している音かもしれません。
念のために下記のサイトを参考にしてみてください。
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/12922

お手入れの方もご参考に。
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_dcp526nd_jpn/doc/html/GUID-C2129035-C0D6-4D06-AC0F-2EF6C5F9EC09_1.html?broug=in