年賀状が印刷できない

携帯で作成する場合は、何かしらのアプリを入れないといけないようですがどのアプリをいれられたのでしょうか？
それがプリンター対応のアプリなのか確認が必要かなと思います。

https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/dcpj4140n/feature/feature8/index.aspx

■スマフォアプリ対応表
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/?__CAMCID=GCepbmkAFw-183&__CAMI=3.3.1.1.JPgyhWBgeF.dXVAsKPd6D968Faa-70&__CAMSID=dXVAsKPd6D968Faa-70&__CAMVID=JPgyhWBgeF&_c_d=1&_ct=1672727554142&_ga=2.24760380.721143810.1672724426-1006118657.1672582327

ルーター経由で複合機とiOS端末（iPhone、iPadなど）を接続する
https://www.youtube.com/watch?v=9SuYLZZoHrM

それぞれの機器がWi-Fiに接続されていてもスマホ〜プリンター間が正常に接続できていなければ意味がありません。
プリンターの電源を入れられるまでにどのくらいの期間が空いていたのか不明ですが、IPアドレスが変わった可能性は考えられないでしょうか？
その場合、アプリを入れ直して最初から登録しなおすのが手っ取り早い方法かもしれませんね。
スマホからハガキ印刷の場合はハガキ印刷アプリを使用することになります。
また、Webアプリを通しての印刷/登録の場合、混雑状況によってうまくいかない場合もあるようです。
・無線LANルーターの再起動
・スマホ/タブレットの再起動
・プリンターの再起動
・スマホ/タブレットのアップデート
・アプリのアップデート
・スマホ/タブレット＆プリンターのネットワークリセットをして最初から接続をやり直してみる
・プリンター本体の操作でネットワーク初期化＆スマホ/タブレットも再登録してみる

他に、ハガキ印刷されるのでしたらハガキ印刷に対応したアプリを使用されておりますでしょうか？
https://online.brother.co.jp/ot/dl/nenga/apps/


改善すると良いですね。

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/?__CAMCID=GCepbmkAFw-183&__CAMSID=DoFpVbidtFe-33&__CAMVID=wotdSJbGgd&_c_d=1&_ct=1561622308870

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末とブラザー製品を接続する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13087/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
↓↓↓↓↓
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4140n
こちらですね。

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/index.html
「Brother いつでも はがき·年賀状プリント」ってアプリを使っているのでしょうか？それならアプリ自体を入れ直してみましょう。

「Brother iPrint&Scan」ってアプリからの印刷が出来るのか？確認したりAirPrintで印刷が出来るのか？確認してみるとか。