MFC-J4510N ファームウェア更新ツールの使い方と制限される機能とは？

恐らくは電話機能についてのファーム更新のことも考えてのことだと思いますが、電話回線使用しない運用時のことも考慮した説明あってしかるべきですね。

電話回線接続せずともファーム更新はできると思いますが、一時的に電話回線モジュラーだけ挿して...
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公式サポートにメール問い合わせするのが的確な回答を得られるかと思います。https://faq.brother.co.jp/app/interview/contact_channel_select/p/15
電話でのサポートは有料0570なのでメールがよろしいかな？と思います。

Win10は、ここからファームウェアの更新ツールを使って
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4510n&os=10013

Win8.1は、ここからファームウェアの更新ツールを使って
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4510n&os=134

管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

パスワードの初期値は、以下のいずれかです。
・製品の背面または底部に貼ってあるラベルに記載された「Pwd」の後に続く8文字。
パスワードが貼付されている場所は、製品によって異なります。

・ラベルがない製品は、「initpass」または「access」です。

全くランプも点灯しなかったり挙動すら起きない状態であれば、電源基盤故障のため、修理を要する案件かと存じます。
コンセントを別の場所（確実に通電している場所）に差し込んでみてもだめなんですよね…。5分程電源プラグを抜いた状態でもだめですか？
電源をOFFにします、のメッセージは出てきますか？もし出るようであれば復旧の兆しはあります。
電源をOFFにします、のメッセージが出ている最中に再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。後は電源ボタンを押し続けながらコンセント入れるなど…
要は電源ボタンの押す時間、タイミング、押す回数等を工夫してやってみてはいかがでしょうか？(電源投入後、ホームボタン連打等)
これで改善すれば良いのですが。
以下、御参照ください。

電源が入りません。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9690/

どうしても無理なようであれば、電源コンセントを抜き１日程放置してみてはいかがでしょうか？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4510n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/10/01）

となってますね。

恐らくファームウェア更新で解決しないかと。プリンタ本体の故障？も疑われるので。