MFC-J6583CDWでモノクロ印刷をしたい

通常、カラーインクを使用しなくても、インクが切れた時点で複合機の機能が使用できなくなってしまいます。
【インクを交換してください】と表示されてしまったのでしたら交換以外の方法がないかと存じます。
インクの交換をしてみてはいかがでしょうか？

一定期間モノクロ印刷可能な機種も存在します。
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/01/post-1fb4.html
こちらですね。

【モノクロ片面印刷のみ可能】と表示されているときは、一定期間に限りブラックインクでモノクロ印刷を続けることができます。この状態で印刷をする場合、次のことにご注意ください。
・パソコンから印刷をする場合は、印刷設定時、用紙種類を[普通紙]、カラーを[モノクロ]に設定する必要があります。
・コピーの場合は用紙タイプが[普通紙]に、ファクス（MFCモデルのみ）の場合は用紙タイプが[普通紙]または[インクジェット紙]に設定されている必要があります。

残念ですが、裏設定や裏技みないなものはございません。
ご使用状況次第では、
モノクロ専用プリンターを購入し、
カラー印刷の場合はWeb印刷でコンビニ印刷することが経済的で効率が良い方法かもしれませんね。

【インクジェット プリンター】「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9313/

【インクジェット プリンター】モノクロ印刷をしたいのにカラーインクの交換メッセージが表示されます。カラーインクは必要ですか？
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9433/~/%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88-%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%80%91%E3%83%A2%E3%83%8E%E3%82%AF%E3%83%AD%E5%8D%B0%E5%88%B7%E3%82%92%E3%81%97%E3%81%9F%E3%81%84%E3%81%AE%E3%81%AB%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%81%AE%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E3%83%A1%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%81%8C%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E3%81%95%E3%82%8C%E3%81%BE%E3%81%99%E3%80%82%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%81%AF%E5%BF%85%E8%A6%81%E3%81%A7%E3%81%99%E3%81%8B%EF%BC%9F
「モノクロ（片面）印刷のみ可能です」と表示されている場合
モノクロ印刷が可能です。いったん印刷をキャンセルし、設定をモノクロに変更してから再度印刷してください。

上記以外の場合
液晶画面に表示されている色のインクを交換しないとモノクロ印刷もできません。

【インクジェット プリンター】「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されました
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9313

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw
こちらですね。

カラー文書をモノクロで印刷する(Windows)
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_mfc6583cdwa_jpn/doc/manual/index.html#GUID-E0489E25-7891-4B45-AC7F-EDD7F0E244CB_51
などを参考にしてみるとか。

他の方が回答されていますが


フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&os=10068&dlid=dlf104326_000&flang=1001&type3=11
こちらのドライバをインストールしているのか？も念の為、確認しましょう。

メーカーが準備したドライバーがインストールされていないように見受けられます。
下記サイトの「フルパッケージダウンロード 【推奨】」を使って再インストールをしてみることをお奨めします。

既に一度、インストールされていれば、同じサイトにある「アンインストールツール」を使って、それを削除後に再インストールをされる必要があります。
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw&os=10068

その後、モノクロ　部分にチェックをいれて印刷をかけるとモノクロ印刷になると思います。