MFC-J6580CDW　

非常に残念ですが、通常、カラーインクを使用しなくても、インクが切れた時点で複合機の機能が使用できなくなってしまいます。
【インクを交換してください】と表示されてしまったのでしたら交換以外の方法がないかと存じます。
インクの交換をしてみてはいかがでしょうか？

一定期間モノクロ印刷可能な機種も存在します。
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/01/post-1fb4.html
こちらですね。

【モノクロ片面印刷のみ可能】と表示されているときは、一定期間に限りブラックインクでモノクロ印刷を続けることができます。この状態で印刷をする場合、次のことにご注意ください。
・パソコンから印刷をする場合は、印刷設定時、用紙種類を[普通紙]、カラーを[モノクロ]に設定する必要があります。
・コピーの場合は用紙タイプが[普通紙]に、ファクス（MFCモデルのみ）の場合は用紙タイプが[普通紙]または[インクジェット紙]に設定されている必要があります。

残念ですが、裏設定や裏技みないなものはございません。
ご使用状況次第では、
モノクロ専用プリンターを購入し、
カラー印刷の場合はWeb印刷でコンビニ印刷することが経済的で効率が良い方法かもしれませんね。

【インクジェット プリンター】「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9313/

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6580cdw
こちらですね。

他の方が回答されていますがカラーのインクカートリッジをちゃんと取り付けインク切れを起こしている場合は交換してやらないと例えモノクロ印刷でもインクカートリッジを取り付ける様表示が出て印刷が出来ないと思います。

【インクジェット プリンター】「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されました
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9315
みたいな表示が出て印刷が継続できる可能性はありますがあくまで一時的な処置に過ぎません。

カラー複合プリンターとして提供されていますので　カラー印刷が可能な状態を維持しないと使い続けられません

自動クリーニングが働くのでカラーインクも減っていきます　カラーインクのいずれかが空になったら新しいインクに交換しないと交換メッセージが表示されたままになり他の作業ができなくなります

今後モノクロ印刷のみにて使用したいのですが、かカラーのインクを入れ替えなければ使用は出来ませんか？（黒のみで使用したい）　
できません。ほとんどのプリンターがカラーインクがなければ印刷できなくなります。仕様です