ルーターを更新すると、印刷できなくなる

LANは無線でも有線でもIPアドレスという数字の組み合わせによる住所が設定されます。
LANで繋がっているPCや機器はこのIPアドレスで通信しますので
このIPアドレスが変わると通信不能になります。
プリンターならPCからプリンターのIPアドレスに送っているのにプリンターのIPアドレスが変わったので届かない・・・という事です。
ルーターの機能による自動割り当ての場合、このIPアドレスがルーターを別のものに変えたりすると以前のIPアドレスとは違うIPアドレスが割り当てられることがあります。
こうなるとPCでプリンターの出力先のIPアドレスを正しいIPアドレスに直すか
プリンタードライバーを入れ直すか、プリンターのIPアドレスをPCで設定されている出力先のIPアドレスに変更するかになります。

たしかに。ルーターを変更すると、プリンターを接続できなくなって、PCではプリンターがオフラインとなって印刷できない。ってのはたまにある。

まず、以下ページをご覧になられましたでしょうか？

【インクジェット/レーザー プリンター】ルーターモデムを変更したら無線LANに接続できません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10316/

ネットワーク情報が変更されたため、プリンタードライバーを入れ直すことにより解決するかもしれませんね。
付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直してみてはいかがでしょうか？

・プリンターの操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティソフトを一時停止してください
　※高速スタートアップにチェックが入っていたらチェックを外して再起動
　※プリンター本体を購入時状態に初期化する

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/

Webページからドライバーをインストールする方法
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https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
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https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

ソフトウェアダウンロード
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https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx