トラブル解決方法を教えてください

プリンターの背面にバーコードがついたラベルを正しく入力しても、
ファームウェア更新でパスワード認証システムに不具合が生じ正しいパスワードを入力してもうまくいかない場合もあるようです。
ラベルに「Pwd」の表記がない・またはラベルがない場合の
パスワードの初期値は、「initpass」または「access」です。
パスワードを設定していない場合は空欄でそのままいける場合もあります。
御確認ください。

【インクジェット/レーザー プリンター】管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】リモートセットアップなどを使ってパソコンから本製品にアクセスしようとすると、パスワードの入力を求められます
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9601

パソコンからは上手く更新ができなくても、本体操作によってパスワードを使用しなくてもファームウェア更新をすることができるようです。
どうしてもパスワードが通らない場合は一旦プリンター本体の操作でリセットしてみてはいかがでしょうか？
また、プリンタドライバーやアプリを入れ直すことで改善した例もありますのでご参考までに。

【インクジェット/レーザー プリンター】ネットワークの設定値のリセット（お買い上げ時の設定への初期化）方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9985

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】パソコンを使って本製品の設定を変更する際に入力するパスワードの設定方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13161/

2014年10月発売　2020年3月でメーカー修理対応が終了したモデルなのでアップデイトは無いと思うのですが

７月にファームウェア更新があったのかな？
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4220n&os=10072

未使用機ですが　Wi-Fiに接続されているようなので　ファームウェア更新であれば本体操作パネルから可能と思います
全てのメニュー・製品情報からファームウェア更新できないか確認してみて下さい　７月配布はバージョンM
本体操作パネルから実行する場合はPW不要です
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9871