DCP-J562Nのファーム更新で液晶パネルが立ち上がらなくなりました。解決方法は？

画像を拝見する限り、ファームウェア更新に失敗している模様です。非常に稀なケースですね。残念ですが修理を要する案件かと存じます。
全くランプも点灯しなかったり挙動すら起きない状態であれば、電源基盤故障のため、修理を要する案件かと存じます。
コンセントを別の場所（確実に通電している場所）に差し込んでみてもだめなんですよね…。5分程電源プラグを抜いた状態でもだめですか？
電源をOFFにします、のメッセージは出てきますか？もし出るようであれば復旧の兆しはあります。
電源をOFFにします、のメッセージが出ている最中に再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。後は電源ボタンを押し続けながらコンセント入れるなど…
要は電源ボタンの押す時間、タイミング、押す回数等を工夫してやってみてはいかがでしょうか？(電源投入後、ホームボタン連打等)
これで改善すれば良いのですが。
以下、御参照ください。

電源が入りません。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9690/

どうしても無理なようであれば、電源コンセントを抜き１日程放置してみてはいかがでしょうか？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj562n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2021/10/01）

と修理はできません。

ファームウェアの更新に失敗したのかな？とは思います。
既にメーカー修理はできませんので買い替えも検討してみては？

もしPCをお持ちならUSBケーブルを用意してUSB接続で

フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj562n&os=10013&dlid=dlf102154_000&flang=1001&type3=11
を使ってドライバをインストールを試みて

ファームウェア更新ツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj562n&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043
を使いファームウェアを上書きして見るとかでしょうか。

2015年10月下旬 発売ですね。
故障の可能性が高いと思います。
修理も期限切れでできないようです。
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?prod=dcpj562n&c=jp&lang=ja