プリンタソフトのアップデートができない！

パスワードが間違っていなければ、アップデート不要(あるいは不可)の可能性があります。

プリンターの背面にバーコードがついたラベルを正しく入力しても、
ファームウェア更新でパスワード認証システムに不具合が生じ正しいパスワードを入力してもうまくいかない場合もあるようです。
ラベルに「Pwd」の表記がない・またはラベルがない場合の
パスワードの初期値は、「initpass」または「access」です。
パスワードを設定していない場合は空欄でそのままいける場合もあります。
御確認ください。

【インクジェット/レーザー プリンター】管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】リモートセットアップなどを使ってパソコンから本製品にアクセスしようとすると、パスワードの入力を求められます
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9601

パソコンからは上手く更新ができなくても、本体操作によってパスワードを使用しなくてもファームウェア更新をすることができるようです。
どうしてもパスワードが通らない場合は一旦プリンター本体の操作でリセットしてみてはいかがでしょうか？
また、プリンタドライバーやアプリを入れ直すことで改善した例もありますのでご参考までに。

【インクジェット/レーザー プリンター】ネットワークの設定値のリセット（お買い上げ時の設定への初期化）方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9985

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】パソコンを使って本製品の設定を変更する際に入力するパスワードの設定方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13161/

管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

パスワードの初期値は、以下のいずれかです。
・製品の背面または底部に貼ってあるラベルに記載された「Pwd」の後に続く8文字。

パスワードが貼付されている場所は、製品によって異なります。

・ラベルがない製品は、「initpass」または「access」です。

本体のファームウェア更新かな？

無線LANでインターネットに接続されている場合は　メニューの製品情報の中にファームウェア更新の項目があり更新が可能です。本体パネル操作からはPW不要。

未使用機ですがMFCだと裏にPWが書かれた機種かな？DCPは未記入で「initpass」または「access」が使われる事が多いですが　日本語入力をOFFにして半角英数で入力してみるとか