NewSoftCDLabeler

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2021/10/01）

と修理は出来ません。

【インクジェット プリンター】NewSoftCDLabeler（レーベルPCプリント用ソフトウェア）のインストールができません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10282
にあるリンクからダウンロードを試みているのでしょうか？

例えばダウンロードするブラウザを変更してみるとか。
またURLがhttpsとなっているところをhttpと書き換えたURLをブラウザをアドレス欄に入れてダウンロード出来ないか？ためしてみるとか。

有線LANとの事なので　プリンターが接続されているLAN機器とパソコンが接続されているLAN機器は同じもの？

パソコンは通信企業から提供されたモデム　プリンターはレンタルや市販の無線LAN機器など異なる機器を経由すると相互通信できなくなります

ただ　2015年9月発売　2021年9月でメーカー修理対応が終了したモデルなので故障が発生している場合は分からないです
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n

ドライバーの入れ直しをしてみてください
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj963n&os=10013
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。
(USBケーブル,LANケーブル接続の場合,USBケーブル,LANケーブルを外しアンインストール後再起動をかけ再度インストール)
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください
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NewSoftCDLabelerkのサイトという意味がよくわかりませんが、
CDレーベル印刷ではNewSoftCDLabelerを使用しての印刷となりますが、
ブラザーオリジナルドライバーはインストールされておりますでしょうか？

ソフトウェアダウンロード
※フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

【インクジェット プリンター】「記録ディスクが詰まっています」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9339

【インクジェット プリンター】「ディスクトレイを送れません」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9344/

【インクジェット プリンター】「ディスクレバーが開いています」または「ディスクガイドが開いています」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9345/

以下ページなどはご覧になられてみてはいかがでしょうか？
【インクジェット プリンター】NewSoftCDLabeler（レーベルPCプリント用ソフトウェア）のインストールができません
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10282/

【インクジェット プリンター】パソコンからレーベル印刷する方法（レーベルPCプリント）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9997

レーベル印刷ってどうやってやるの？
↓↓↓↓↓
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/10/post-d6c6.html

難しそうなレーベル印刷も、スマホを使えば簡単便利！
↓↓↓↓↓
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/01/post-3c73.html

レーベル印刷をする方法1/2～パソコン操作編～
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=A7UZJ3RgITw

レーベル印刷をする方法2/2～本体操作編～
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=vCO1_MUqpGs

【タイプ別】 ブラザーCDラベル印刷をするための準備と手順
↓↓↓↓↓
https://ink-revolution.com/index.php/150-141.html