【DCP-J562N】【通信できない】

補足を読みました。

「Brother iPrint&Scan」で印刷ができるって事は少なくともプリンタとスマホは正常に通信出来る状態にあることはわかります。
「Brother いつでも はがき·年賀状プリント」ってアプリ自体に何か問題があるのかな？とは思われます。
アプリの入れ直してでダメなら接続しているルーターでIPv6をローカルネットワークでは使わないようにしてIPv4のみに設定を変更し手見るとか…

別件ですが
長期間使わないとインクが詰まりノズルヘッド詰まりが発生する危険性があります。
brotherのホームページ　に
プリンターを長持ちさせるには？
「ヘッドクリーニングを定期的に行うこと」と
https://www.brother.co.jp/product/printer/home/magazine/kiji303/index.aspx#chapter-03
キヤノン　
「1ヶ月に1度を目安に、印刷、もしくはプリントヘッドのクリーニングを行う」
https://faq.canon.jp/app/answers/detail/a_id/46399/
EPSON
「インクカートリッジ開封後は6ヵ月以内に使い切ってください。」

「Brother いつでも はがき·年賀状プリント」ってアプリを入れ直してみるとか。

https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/android.html
念の為、「Brother iPrint&Scan」ってアプリから印刷等が出来るのか？確認して見るとか。

年賀状以外の印刷が可能ならば【brother年賀状アプリ】に原因があるのでしょう。
【brother年賀状アプリ】を一度削除し再インストールされてはいかがでしょう。
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.brother.mfc.nenga&referrer=com_apps_clicked

年賀状以外の印刷でも再発するならば
wifiルーターのOFF/ON　を
wifiルーターのOFF/ONしても改善しない場合
brother　Q&A　を
スマートフォン／タブレット端末に「対応する製品が見つかりません」
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10133

DCP-J562Nなどほとんどのプリンターはwifi２.4GHzを利用しています。
wifiルーターの2.4GHzと5GHzの周波数帯を自動で振り分けるバンドステアリング機能を停止することをおすすめします。
また、２.4GHzは遠くまで届く反面、家電や他のwifiルーターの電波干渉を受け易いようです。
DCP-J562Nの近くで
WiFiルーターを利用せず　Wi-Fi Direct　で印刷が良いかもしれません。
オンラインユーザーズガイド　
Wi-Fi Direct®を使用する　
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_dcp526nb_jpn_oug/doc/html/GUID-DC088375-775B-49A5-ABEF-4A155622F7C7_256.html?broug=in

ついでに
Androidのフリーアプリ　wifiアナライザーで　２.4GHzの状態を確認できます。
https://play.google.com/store/apps/details?id=abdelrahman.wifianalyzerpro&hl=ja
我が家の場合、プリンター近くに同じチャンネルの電波が飛んでおり混信していました。

Wi-Fi Directを利用してスマートフォンと複合機を接続する(Android編)
https://www.youtube.com/watch?v=oijm-n_H0LU

ルーター経由で複合機とandroidスマホを接続する
https://www.youtube.com/watch?v=w6vCtGeR7ho