DCP-J940N 筆まめから印刷出来ない

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/04/01）

と修理は出来ません。

【インクジェット プリンター】「用紙サイズが不一致です」または「用紙間違い」と表示されました
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10659
あたりを参考にしてみるとか。

https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj940n
にある「ユーザーズガイド ～基本編～」の38ページあたりを参考にプリンタ本体での記録紙タイプ・サイズとiPhone側での用紙タイプ・サイズと使用するトレイの種類が一致するのか？確認してみるとか。

非常に残念ですが、iOSをアップデート後に最新版のiOSを所持されている方において、印刷時の不具合が散見されます。
補足いただきありがとうございます。
メーカーとしても対応しているのでしょうけれども、如何せんiOSの更新が目まぐるしいため、対応に追われている状況が続いて大変苦慮されていることではないでしょうか。
どうかメーカー側は放置しているわけではないため、温かい目で見守ってあげると良いかもしれません。

ユーザー側としての対処法として、iOSの更新を遅らせるなど周辺機器の対応状況も考慮されると今後のトラブル防止に繋がるかもしれません。

アプリは入れ直されてみたでしょうか？
以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？
印刷できないのであれば、お使いのOS・プリンター・ハガキアプリのいずれかの相性問題で対応しきれないとあきらめるしかなさそうです…。

年賀状印刷サポート
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/nenga/

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/

【インクジェット プリンター】「Brotherはがき・年賀状プリント」を使いたいのですが、スマートフォン／タブレット端末に「対応する製品が見つかりません」と表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10143/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
↓↓↓↓↓
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html