MFC-J5820DNの製品

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5820dn
こちらですか。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2022/04/01）

と修理は出来ません。

他の方が回答されていますがコンセントを抜いて半日とかしてから電源を入れ直してみるとか。
またお使いのプリンタの場合、プリンタ本体のコンセント部分は外せない構造になってますね。
https://www.yodobashi.com/product/100000001004416630/
ほんの一例ですが上記みたいなメガネ型の電源ケーブルならプリンタ本体側のコネクタの差し込み不良なども考えられるのですがその可能性は無いですね。

1.電源プラグをいったん抜き、抜いたまま20秒待ってください

2.パネル上の電源（On/Off）ボタンを押しながら電源プラグをコンセントに挿してください。

3.「Brother」の画面が立ち上がったら、パネル上の電源ボタンから手を離してください。
（液晶画面に「電源をオフにします」と表示されてすぐ電源が落ちる場合は、
「電源をオフにします」が表示されたタイミングで、再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。
ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。）

しばらくしてまた切れてしまった場合は再トライして電源が入ったところで電源ボタンを2回ほど押し
てみてください
（液晶画面に「電源をオフにします」と表示されてすぐ電源が落ちる場合は、「電源をオフにします」が表示されたタイミングで、再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。）

全くランプも点灯しなかったり挙動すら起きない状態であれば、電源基盤故障のため、修理を要する案件かと存じます。
コンセントを別の場所（確実に通電している場所）に差し込んでみてもだめなんですよね…。5分程電源プラグを抜いた状態でもだめですか？
電源をOFFにします、のメッセージは出てきますか？もし出るようであれば復旧の兆しはあります。
電源をOFFにします、のメッセージが出ている最中に再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。後は電源ボタンを押し続けながらコンセント入れるなど…
要は電源ボタンの押す時間、タイミング、押す回数等を工夫してやってみてはいかがでしょうか？(電源投入後、ホームボタン連打等)
これで改善すれば良いのですが。
以下、御参照ください。

電源が入りません。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9690/

どうしても無理なようであれば、電源コンセントを抜き１日程放置してみてはいかがでしょうか？

過去解決事例
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プラグ差し込みと同時にオンスイッチを押すことで、電源が入りました。
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