ハガキを印刷したところ文字化けする.

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj982n
こちらですね。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644
まずは問題を切り分ける意味で印刷品質チェックシートを印刷して状態を確認しましょう。これが問題ない状態なら少なくともプリンタの印刷機能の異常では無いことはわかります。
そうなると「Brother いつでも はがき·年賀状プリント」ってアプリをアンインストールして再インストールして見るとかでしょうか。

>iOS
iOS 17.xと最新バージョンに「Brother いつでも はがき·年賀状プリント」ってアプリが十分対応できず書かれている様な現象に繋がっている？って事もあり得ますね…

https://online.brother.co.jp/ot/nenga/apps/nenga/
　一度削除して、もう一度インストールしなおしてみたら如何でしょうか

ローカルネットワークはオンになっておりますでしょうか？
再起動やアプリは入れ直されてみたでしょうか？
以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？
印刷できないのであれば、お使いのOS・プリンター・ハガキアプリのいずれかの相性問題で対応しきれないとあきらめるしかなさそうです…。
ご質問者様のiOSバージョンが不明ですが、最新バージョンになさっているということはありませんでしょうか？
非常に残念ですが、iOSをアップデートしたり、最新版のiOSを所持されている方において、不具合が散見されます。
メーカーとしても対応しているのでしょうけれども、如何せんiOSの更新が目まぐるしいため、対応に追われている状況が続いて大変苦慮されていることではないでしょうか。
どうかメーカー側は放置しているわけではないため、温かい目で見守ってあげると良いかもしれません。

ユーザー側としての対処法として、iOSの更新を遅らせるなど周辺機器の対応状況も考慮されると今後のトラブル防止に繋がるかもしれません。

他のバージョンの古いスマホで印刷したり、PCを利用して印刷してみてはいかがでしょうか？

年賀状印刷サポート
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/nenga/

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/

【インクジェット プリンター】「Brotherはがき・年賀状プリント」を使いたいのですが、スマートフォン／タブレット端末に「対応する製品が見つかりません」と表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10143/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
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http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html