パソコンとつながらない

状況、経緯、詳細を記した方が、的確な回答を期待できます。
「つながらない」とは
以前は繋がっていた？
初めての設置？

ルーターと有線LANケーブルの場合、プリンターに有線LAN接続であることを
設定し、まずはルーターと繋げます。

次にpcはルーター経由でプリンターを見つけて接続します。
ってな感じですね。

「パソコンとつながらない」
ルーターとは繋がっている？

mfc5890cn故障かな。ユーザーが原因を切り分けできなくてもブラザーに修理を依頼すれば、点検・必要なら修理をするので、

・・・と思ったけど、
供給部品の保有期限が過ぎたため、本製品の修理対応を終了します
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/mymio/index.aspx
だって。まずプリンタを買い換えだね。

ドライバーを入れ直ししてみてください
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc5890cn&os=10013
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。
(USBケーブル,LANケーブル接続の場合,USBケーブル,LANケーブルを外しアンインストール後再起動をかけ再度インストール)
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください
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https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc5890cn
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2016/04/01）

と修理は出来ません。

https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc5890cn
マニュアルを参考にプリンタ本体の操作パネルから全設定リセットして現在インストールしているドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切りLANケーブルも抜いてPCを再起動しましょう。

フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc5890cn&os=10013&dlid=dlf013851_000&flang=1001&type3=11
そして上記を使ってドライバを再インストールして見るとか。