ハガキの送りがずれ宛名もずれる

はがきの表面に紙の粉などが付着しているような事もあるので一枚一枚丁寧に拭き取ってみるとか。

【レーザー プリンター】使用できる年賀状について
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9729/
あとはインクジェット用のはがきを使っているような事がないか？確認してみるとか。

>昨年からこのような現象が起きてきたので買い替えですかね。
そうですか。まぁはかぎの印刷がどうしても必要なのであれば買い替えって選択もありだとは思います。

>裏面印刷したハガキの宛名の印刷は難しいかも
>しれないということでしょうか。
そう言う事は基本的にないとは思いますが給紙ローラーの汚れに繋がる可能性はあるかな？とは思います。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hl5440d
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2021/04/01）

となっているので修理が必要な場合は買い替えとなります。

>給紙は手さし
プリンタ前面にある多目的トレイ（MPトレイ）のから給紙しているって事でしょうか。

【レーザー プリンター】紙がすぐに詰まる・詰まりやすい
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10354
あたりが一般的な対処法でしょうか。

内部ローラーの清掃など行った上で、紙詰まりが見当たらないのに紙が送れなかったり紙詰まりエラーが消えない場合は異物噛み込みや内部に紙片がはさまっていたり、
給紙ローラーや排紙ローラーの内部部品のローター軸劣化による不具合やセンサー故障で本来修理となるべき故障の可能性が高いです。
プリンタードライバーを入れ直すことにより改善したケースもありますのでご参考までに。
また、インクジェットプリンターの場合だけですが、エンコーダーの清掃をすることで紙送りがスムーズになったケースもあるようです。
市販品の紙詰まり解消シートを使用してみるのも一案です。
厚紙を電源を切った状態でトレイにセットし、電源を入れた時に自動給紙させたら改善したというケースもあるようですのでご参考までに。

【インクジェット プリンター】詰まった用紙が取れません/詰まった用紙を取り除いたのにエラー表示が消えません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10154

【インクジェット プリンター】給紙ローラーの清掃方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10620

【インクジェット プリンター】印刷した文字が、二重にぶれたりします（エンコーダーの清掃方法）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10632