年賀状宛名印刷で急に赤文字でしか出力できない

ヘッドクリーニングを何回かされても改善しないのでしたら5時間程時間を空け、再度チェックしてみてはいかがでしょうか？
インク吐出経路に損傷や亀裂が生じインク漏れが発生することもまれにあるようです。
その場合は修理しか方法がありません。

まず、印刷品質チェックシートの印刷結果はどのようになっていたのでしょうか？
また、純正インクをご使用でしょうか？
どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかわかりかねますが、
おそらくインクヘッドが乾燥もしくはインク残渣の堆積物による目詰まりを起こしているのではないでしょうか。
もしくはインクを入れ替えたのでしたらその際に気泡が生じ、気泡が消える（落ち着く）まで印字できない状態になっている可能性があります。
インクカートリッジを変えたから、ヘッドクリーニングして良くなったからといってすぐ改善することはほぼありません。
また1日にヘッドクリーニングを何十回してもさほど効果はありません。
時間を置いてから改善しているか状況を見ながら
毎日、ヘッドクリーニングを4回その後電源プラグを抜き1日放置
これを繰り返して良くなれば回復の可能性がありますが…
プリンターの初期化、ファームウェアの更新やプリンタードライバーを入れ直して改善したというケースもありますのでご参考までに。
改善の見込みがなければ修理となりますが、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば、
修理をすることができませんので、残念ですが買い替えとなります。
以下、参照願います。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644/

プリンターのノズルテストパターンを印刷してみて、目詰まりがないかを確認された方がいいと思います。
目詰まりがあった場合は　ヘッドクリーニング　をしてみて改善されるかどうか様子を見てください。

連続して何度も　ヘッドクリーニング　を実施すればプリンターに悪影響がありますので30分～1時間は時間をとってから次をやってみて、1日に実施するのは5回程度までとした方がいいです。
（インクは水物ですので、内部に細かい空気が混入している場合があります。やりすぎるとそれらが悪影響を及ぼします。）

ヘッドクリーニング後、１0分ほどしてから再度　ノズルテストパターンを印刷してみて先ほどよりも良くなっているかどうかを確認します。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644/~/%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88-%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%80%91%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%81%8C%E5%87%BA%E3%81%AA%E3%81%84%2F%E7%99%BD%E7%B4%99%E3%81%AB%E3%81%AA%E3%82%8B%2F%E8%89%B2%E5%90%88%E3%81%84%E3%81%8C%E3%81%8A%E3%81%8B%E3%81%97%E3%81%84
赤以外のノズルが詰まっているのだとおもいます。
ヘッドクリーニングをやってみてください

シアンとイエローのインクが出ていないのではないでしょうか。
普通にカラー印刷する場合もおかしな色になっていませんか？

ノズルチェックをして、問題があればクリーニングをしてみてください。