パソコンにドライバインストールでプリンターを認識しない

2016年9月発売モデル
今まで使えていたものが接続できなくなったのであれば故障を疑う必要があるかも知れません

パソコン情報不明ですが　そちらの通信も　無線LAN機器経由でインターネット接続は可能でしょうか？

私だったら　無線LAN機器をリセットし初期登録からやり直してみます
パソコンからもアンインストールツールを使ってプリンター情報を完全削除

プリンターを無線LAN機器に登録
プリンターのコンセントを抜いておいて　最新のフルパッケージドライバーをダウンロードしてインストール開始　添付画像かな？接続可能なプリンターを検出する段階でプリンターをコンセントに繋いで起動し無線受信すれば一覧に表示される

頻繁に作業するものでもなく　画像がどのようなものだったか覚えていないので
ダイレクトプリントはメモリーカード類だけなので無線LANを経由しない接続はできません

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

プリンターの電源を入れられるまでにどのくらいの期間が空いていたのか不明ですが、IPアドレスが変わった可能性は考えられないでしょうか？
その場合、プリンタードライバーを入れ直して（スマホならアプリを入れ直す）最初から登録しなおすのが手っ取り早い方法かもしれませんね。

尚、以下ページが参考になりますでしょうか？
ネットワークケーブルの抜き差し（正しい順番での再起動）で改善することもあるようです。
また、Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
設定を確認後に再起動すると改善するケースもあるようです。
・認証や暗号化方式がWPA3やWPAになっていればWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzになっていれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://kaisen.netmile.co.jp/nijuurutar-kakunin


【インクジェット/レーザー プリンター】オフラインと表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10258

【インクジェット/レーザー プリンター】ステータスモニターに「オフライン状態です」と表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10259/

【インクジェット/レーザー プリンター】お困りごとナビ　パソコン印刷できない
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13074

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)ネットワーク接続でインストールできません
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10279

ソフトウェアダウンロード
※フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

かんたん設置ガイド
https://download.brother.com/welcome/doc100574/cv_dcp567n_jpn_qsg.pdf
　　確認しながらやってみてください
ドライバーはCDからではなく下記から
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj567n&os=10013
アンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。