Wi-Fiのルーター変更したらつながらない

PCやプリンターのIPアドレスを固定していないと出る問題ですね。
ルーターの電源を先に入れネットに繋がる状態になったらPCとプリンターの電源を入れれば自動的に接続されます。
この時、以前のルーターのIPアドレスと違うIPアドレスが割り当てられていることが原因です。
この場合、PCではなくプリンター側のIPアドレスになります。
プリンターがPCと通信可能なIPアドレスになっているのなら、プリンタードライバーの再インストールを行えば解消されるかもしれません。
あるいは、PCのプリンターの設定から出力先のIPアドレスを調べてプリンターのIPアドレスを手動設定すればプリントできるようになると思います。

ルーター側のボタンを押して自動的に無線接続する（DCP-J1200N用）
https://www.youtube.com/watch?v=A--a7U-kGuY
WPS（Wi-Fi Protected Setup）対応のWi-Fiルーターをお持ちの場合、ボタンを押すだけで複合機と無線LAN設定が行なえます。その方法についてご紹介します。

下記のサイトの内容を確認されましたか？
【DCP-J1200N】Wireless Directがつながりません

https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13413/~/%E3%80%90dcp-j1200n%E3%80%91wireless-direct%E3%81%8C%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%81%8C%E3%82%8A%E3%81%BE%E3%81%9B%E3%82%93

まず、以下ページをご覧になられましたでしょうか？

【インクジェット/レーザー プリンター】ルーターモデムを変更したら無線LANに接続できません
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10316/

ネットワーク情報が変更されたため、プリンタードライバーを入れ直すことにより解決するのではないでしょうか？
付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直してみてください。

・プリンターの操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティソフトを一時停止してください
　※高速スタートアップにチェックが入っていたらチェックを外して再起動

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)今まで印刷できていたのに、突然印刷できなくなった
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10255/

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

必要な設定変更はお済みですか？