mfc-j737dnでステータスモニターがインストールできないトラブルについて

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

ブラザーのオリジナルドライバーは入れられておりますでしょうか？
付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れてみてはいかがでしょうか？

・プリンターの電源を切っておく
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・ブラザーのドライバーをインストールしている場合は、
　一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティーソフトを一旦停止しておく
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーをインストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

インク残量の事かな？　印刷設定（プリンターのプロパティ）にある　プリンターの状態を確認

印刷設定と同じくプリンタードライバーに組み込まれた機能になります

グレーでクリックできない場合は　タスクバー右側の領域通知に表示されるようになっています

無線LANとの事なので　ネットワークプリンターは追加インストールという特徴もあり　複数のMFC-J737DN用接続情報が複数登録された状態かも知れません
接続情報が間違っているとインク残量が表示されない　枠だけで色が出ない

アンインストールツールを使って削除してから新規インストールを実施しないと正しいネットワークプリンターに接続できない状態かも知れません

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj737dn
こちらですね。

一旦、現在インストールしているプリンタドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切りPCを再起動しましょう。

フルパッケージダウンロード 【推奨】
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj737dn&os=10013&dlid=dlf103165_000&flang=1001&type3=11
をダウンロードしてセットアップを開始し画面の指示に従いプリンタの電源を入れてドライバを再インストールしてみてはどうでしょう。