子機が親機を探していますというメッセージ

下記ページあたりは参照されましたでしょうか？
まず、関係する機器類（モジュラージャックやLANケーブルの抜き差し、ルーター、モデム、ONU、光ユニット、ハブなど）の再起動をしてみてはいかがでしょうか？

改善しなければ、一旦リセットして工場出荷状態に戻し、
簡単操作ガイドに沿って最初からやり直してみてはいかがでしょうか？

また、回線業者からのレンタル品で年数が経過されている機器がありましたら交換してもらうことで改善することもあるようです。
子機の場合ですと、バッテリーが寿命に達している可能性があります。

【インクジェット プリンター】「子機使用中です」と表示され、ファクス送信できません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10674?a_id=13063&session=BMx4iSup

【インクジェット プリンター】子機を使おうとすると「通話圏外」や「親機を探しています」と表示され使用できません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10119

【インクジェット プリンター】子機で電話をかけたり受けたりできない
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10126

【インクジェット プリンター】お困りごとナビ　インクジェットプリンター・複合機子機の調子が良くない
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13066

【インクジェット プリンター】子機の充電ができません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10117

【インクジェット プリンター】子機のボタンが効きません
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10115

【インクジェット プリンター】子機を使うと途切れたり、切れたり、相手の声が聞き取りにくいです
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10114

【インクジェット プリンター】子機で電話をかけることができない
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10128

【インクジェット プリンター】子機で電話を受けることができない
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10127

こちらの製品ですね。
https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj890dn
2013年10月発売開始の製品で、発売後9年が経過していることになります。
質問者様もおそらく7－8年使われておられるのではないでしょうか。
「通信ボックスの点灯がない」ということで、おそらく通信ボックス周りの不具合かと思われます。
一度本体及び通信ボックスのコンセントを抜き、30秒ほど放置してから再度コンセントを挿して再起動させて状況が改善すれば良いのですが、それでも状況が改善しなければ経年劣化による故障が発生しているものと思われます。
ただ、Brotherでの修理対応は2019年で既に終了してしまっており、修理する方法はありません。なので、コンセントの抜き差しで改善しなければ、残念ながら「寿命」ということで買い換えを検討される以外に解決策はありません。

以上、ご参考まで。