ドライバーインストール方法

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2375dw
こちらですね。

まずは会社のシステム担当者に相談してみては？
プリンタドライバがインストールできないって話で途中で管理者のパスワードを求めてくるようなら可能性としてはWindowsにサインインするアカウントに管理者の権限がないって事は考えますね。

PC自体は起動してWindowsも起動するのですか？。いわゆるPCのログイン自体は問題ないのですか？。

通常PCが起動していれば、プリンターのドライバーは問題なくダウンロード／インストールが可能なはずですが、ただ会社のPCとなると話はまた別で、業務に不要なソフトウェア等を自由にインストール出来ないよう、新たに何かをインストールする場合に管理者権限等の制限設定がされている可能性があります。今回の案件がそうなのかはわからないのですが、もしそのような設定がされているなら、管理者でのIDとパスワードが必要になる可能性があります。一度会社のIT担当者や管理者に確認をされた方がよろしいかと思います。

＞パソコンのアドレスと、開く際のパスワードではないのでしょうか。
こちらでは会社での設定がどのようになっているのかが分かりませんので、会社の担当者に聞くしかありません。それでダメだったので上手くいかなかったのであれば、違うということです（入力間違い等が無ければですが）。

また、会社が許可していないソフト（ドライバーも含む）を勝手にインストールできない決まりになっているなら、難しいかもしれません。その点も確認が必要でしょう。

会社がどのように設定しているのかわかりませんので、
会社のIT担当者にご相談されてみてはいかがでしょうか？
従業員コードとパスワードだったりしますね。