【MFC-J904N】勝手に再起動を繰り返す

全くランプも点灯しなかったり挙動すら起きない状態であれば、電源基盤故障のため、修理を要する案件かと存じます。
コンセントを別の場所（確実に通電している場所）に差し込んでみてもだめなんですよね…。5分程電源プラグを抜いた状態でもだめですか？
電源をOFFにします、のメッセージは出てきますか？もし出るようであれば復旧の兆しはあります。
電源をOFFにします、のメッセージが出ている最中に再度パネル上の電源（On/Off）ボタンを長押しします。ホームボタンが点灯したら電源ボタンから手を離してください。後は電源ボタンを押し続けながらコンセント入れるなど…
要は電源ボタンの押す時間、タイミング、押す回数等を工夫してやってみてはいかがでしょうか？(電源投入後、ホームボタン連打等)
これで改善すれば良いのですが。
以下、御参照ください。

電源が入りません。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9690/

どうしても無理なようであれば、電源コンセントを抜き１日程放置してみてはいかがでしょうか？

機種は違いますが。
https://review.kakaku.com/review/K0001121639/ReviewCD=1337079/
「一度調子が悪くなって電源を落とすと電源を何度押しても立ち上がらなくなる事がある。

立ち上げる方法はコンセントを抜いて電源ボタンを押しながらだと立ち上がるという裏ワザがある。（調べた）
↑
そもそもコンセントから電源ボタンを押さなきゃいけないとかおかしくないでしょうか？
そしてそれをしないとたとえ起動したとして束の間、再起動を永遠と繰り返す。」

電源ボタンでオフせず、電源コードを抜いたことはありますか？

★一旦、電源ボタンでオフした後、電源コードを抜いて
電源ボタンを押しながら電源コードをコンセントに入れる
を試してみてください。

プリンターの強制終了（電源長押し）
PCの再起動
その後プリンターの電源ON
これでどうなるか
後プリンターのあらゆるボタンを押してみて、引っかかる感じで押されっぱなしの感覚はないですか？

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj904n
　ドライバーを入れ直してみる
色々やってみて同じなら修理の感じがしますね

【インクジェット プリンター】オンライン修理申し込み
MFC-J904N
https://myportal.brother.co.jp/ContactUs/RepairRequest1.aspx?model=MFC-J904N&type=public&repairType=normal
修理費が20,000円近くかかるので買い替えを含めて検討してみて下さい。