ログインIDのバーコードとプリンターのドライバーに関する問題

印刷できないのであれば、お使いのOS・プリンター・ハガキアプリのいずれかの相性問題で対応しきれないとあきらめるしかなさそうです…。
パソコンからの印刷を強くおすすめします。

年賀状印刷サポート
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https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/nenga/

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
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https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/?__CAMCID=GCepbmkAFw-183&__CAMSID=DoFpVbidtFe-33&__CAMVID=wotdSJbGgd&_c_d=1&_ct=1561622308870

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

パスワードの初期値は、以下のいずれかです。
・製品の背面または底部に貼ってあるラベルに記載された「Pwd」の後に続く8文字。
パスワードが貼付されている場所は、製品によって異なります。

・ラベルがない製品は、「initpass」または「access」です。

みんなの筆王はこれですか？
https://www.sourcenext.com/sc/webfudeoh/

brother MFC-J6583CDWプリンターが
印刷できるようになるまで！
https://ink-revolution.com/index.php/149-06.html
スマートフォンやタブレット端末から印刷やスキャンをしたい場合
【AppStore】または【GooglePlayStore】よりBrother iPrint&Scanをインストールします。
「製品が未選択です」が表示されている場合は、「MFC-J6583CDW」を選択します。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6583cdw
こちらですね。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】パソコンを使って本製品の設定を変更する際に入力するパスワードの設定方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13161
【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】リモートセットアップなどを使ってパソコンから本製品にアクセスしようとすると、パスワードの入力を求められます
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9601
を見ると

製品の背面または底部に貼ってあるラベルに記載された「パスワード（Pwd）」の後に続く8文字、または「initpass」に設定されているモデル

って言うのに該当はしますね。

iOS対応モバイルプリント＆スキャンアプリ「Brother iPrint&Scan」対応状況
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/ios.html
ってアプリか？

AirPrintの使い方
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/12493
AirPrintってアップル標準の機能を使って印刷することになりますね。

https://www.sourcenext.com/sc/webfudeoh/
みんなの筆王はこちらでしょうか？iPhoneからこちらのアプリを使って印刷するならAirPrintの設定が必要かと。