Air printが見つからない

基本的に
[iOSのデバイス]-(A)-[ルーター]-(B)-[MFC-J6570CDW]
のように繋ぎますが、
・区間Bの接続設定が正しく完了しているか
・ルーターが区間Aから区間Bに通過できる設定になっているか
この2つが主要チェックポイントになります。

区間Bは有線LAN、無線LANのどちらで接続してますか？
無線LANであれば、まずルーターを再起動（ACアダプターを抜いて1分ほど待って再通電）させることで、2.4GHz帯の通信を安定させてみてください。
※周囲にたくさんアクセスポイントが見つかるような環境下では、可能であれば有線LANでの接続を推奨します。

お使いのルーターの機種名が不明ですが、
iOSデバイスやコンピューターからルーターの管理画面にアクセスし、
・プライバシーセパレーター
・端末間通信
などの設定項目名を確認し、
ルーターを介して、区間AとBを相互に通過できるようにしてあるか、
確認をしてみてください。

その後あらためて、iOSデバイスからプリンターを見つけられるか、確認してください。

>Air printが見つからない

こちらです。
https://apps.apple.com/jp/app/air-print/id1604135207

iOS端末からAirPrintを使ってWebページを印刷する
https://www.youtube.com/watch?v=8w7baAFeLCU

【インクジェット/レーザー プリンター】（iPhone、iPodtouch、iPad）AirPrintで印刷したいのですが、スマートフォン／タブレット端末に「AirPrintプリンターが見つかりません」と表示されます
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10138/~/%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88%2F%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B6%E3%83%BC

この機種はiPrint&Scanを使用しての印刷となりますね。
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6570cdw&os=112

こちらはご覧になられましたでしょうか？
【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末とブラザー製品を接続する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13087/

アプリは何をお使いでしょうか？
・無線LANルーターの再起動
・スマホ/タブレットの再起動
・プリンターの再起動
・スマホ/タブレットのアップデート
・アプリのアップデート
・スマホ/タブレット＆プリンターのネットワークリセットをして最初から接続をやり直してみる
・Brother iPrint&Scan　⇔　AirPrintでためしてみる
・プリンター本体の操作でネットワーク初期化＆スマホも再登録してみる

改善すると良いですね。

【インクジェット プリンター】お困りごとナビ　年賀状の印刷ができない
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13062/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末とブラザー製品を接続する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13087/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/

【インクジェット プリンター】「Brotherはがき・年賀状プリント」を使いたいのですが、スマートフォン／タブレット端末に「対応する製品が見つかりません」と表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10143/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
↓↓↓↓↓
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

また、Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・認証暗号化方式をWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzになっていれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する