MFC-J4440NでFAXの送受信ができない

>MFC-J4440N
>まいとーくFAX9pro
電話回線は、
[壁やホームゲートウェイなど]
→[MFC-J4440N]のLINE端子
[MFC-J4440N]のEXT端子
→[FAXモデム（まいとーくから利用できるPCなど）]
という形で、間にMFC-J4440Nがいる、という形でしょうか？

あるいはひかり電話サービス利用にて、
ホームゲートウェイなどでTEL1、TEL2の形でそれぞれに接続ですか？

または、MFC-J4440NのFAX機能は使わずに、
FAX回線接続はまいとーく側によるPC上での送受信で、
MFC-J4440Nはプリンターやスキャナーとしてだけ使っているケースなのでしょうか。
もうすこし機器の接続状態がわかると良いのですが。

>ファームウェア更新途中でメモリが不足していますと出る
ファームウェア更新上のメモリー不足と、
FAX送受信ができない件が別なのか、現段階では判別困難ですが、

>ファームウェア更新途中で
とあるのでこの状態での電源オフはリスクがあるかと。

PCなどからファームウェア更新をかけている最中に、
アップデーター実行中にこのエラーが出ているのならば、
正しいキャンセル操作にて、
いったんファーム更新を中止した状態にしたうえで、
MFC-J4440Nの空きメモリ確保が必要かと思います。

MFC-J4440Nでの送受信をしている利用形態の場合、
現段階では、みるだけFAXやメモリー受信を有効にしていて、
ある程度データが溜まっている状態が一番考えられるかと思います。
すでに確認済みで不要な物があれば消去するか、印刷してメモリを空けるのが早いかと思います。

本製品のメモリーに保存されたファクスを印刷する
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_dcp4140nd_jpn/doc/html/GUID-0290D109-E382-4F46-9772-2C640CD7BF33_1.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4440n&broug=in

上記操作などで、プリンター上のデータを消去してから、
もう一度ファームウェア更新を試してみてはいかがでしょうか。

以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？
一旦無線LANルーターを含む全ての関係する機器類を再起動して改善するか確認してみてはいかがでしょうか？
なお、プリンター本体を、一旦リセットしてみてはいかがでしょうか？
また、プリンタードライバーも入れ直すことにより改善するかもしれませんね。

【インクジェット/レーザー プリンター】「ファクスメモリが少なくなりました」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10807

【インクジェット/レーザー プリンター】「メモリがいっぱいです」または「メモリーがいっぱいです」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9295/

【インクジェット/レーザー プリンター】「メモリがいっぱいです」「メモリガイッパイデス」「印刷データがいっぱいです」「インサツデータイッパイ」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9302/

改善しなければ、
①プリンタ本体の操作パネルにある電源ボタンや中止ボタンを長めに押して電源を切る
②コンセントを抜いて電源を切る
③数分間放置後、電源を入れ直して再度印刷をやり直す
④30分以上放置後、電源を入れ直して再度印刷をやり直す

これで解決しませんでしょうか？
以前から出ているエラー（例えばトナー交換など）の対処をすることで解決することもありますので、他のエラーが無いか今一度ご確認ください。

また、過去解決事例が参考になりますでしょうか？
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結局は、内蔵メモリに対して、データが大きいので、連続では無理とわかり、一枚ずつで対処しました。カラーできれいには、手間かけるしかないということがわかりました。
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タスクマネージャーでControl center 4が32ビットと確認できたので、Windows　Homeが64ビットで搭載しているRAMが64GBでも、2GBしか認識していないから1200dpi,A3サイズでスキャンできないのかなと思いました。それでスタートボタンの横の検索で「スキャン」と検索してみると「Windows　Faxとスキャン」が見つかったので、1200dpi×2400dpiでA3サイズでスキャンしてみたら、見事スキャンできました。
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【インクジェット/レーザー プリンター】ファクスの送信ができません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10046/kw/FAX%E9%80%81%E4%BF%A1%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%81%AA%E3%81%84

【インクジェット プリンター】ファクスの受信ができません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10067/~/%E3%80%90%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%AF%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%83%83%E3%83%88-%E3%83%97%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%80%91%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%8F%97%E4%BF%A1%E3%81%8C%E3%81%A7%E3%81%8D%E3%81%BE%E3%81%9B%E3%82%93

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj4440n
こちらですか。取りあえずプリンタの電源を切り数分してから入れ直してみるとか。