PCとの接続に問題が発生しているmfc-j5800cdw

現在の状況に至るまでの経緯が質問文から推測困難なので、
購入後の初期設定段階なのか、しばらく運用していてのトラブルなのかもわかりませんが、
まずは下記の通り作業してみてください。
※コンピューターのOS情報の記載が無いので、Windows10 64bitを前提に記載。

1.お使いの無線LANルーターを再起動させておく
（ルーターのACアダプターを抜いて1分ほど待って再通電）

2.mfc-j5800cdwのネットワーク設定を一旦リセット
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfc5800cdwa_jpn/doc/html/GUID-93C1500F-FCE9-481C-9499-A8720AC668E4_1.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&broug=in

3.お使いの無線LANルーターとmfc-j5800cdwの間を無線LAN接続
a.ルーターにWPS/AOSSボタンがある場合：
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfc5800cdwa_jpn/doc/html/GUID-B4F299A9-2575-48D9-9877-403F77F1B132_1.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&broug=in

b.WPS/AOSSボタンがない場合：
お使いの無線LANルーター本体に貼ってあるラベルや同梱シートにある、SSID（2.4GHzまたは5GHz）と暗号化キーを手元に用意して下記手順で接続
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfc5800cdwa_jpn/doc/html/GUID-350C0768-C0FE-45D6-B6EE-8FA444F0CB49_1.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&broug=in
※a.b.どちらでもよいので、接続ができたら、いったんプリンターの電源を切っておく

4.下記よりアンインストールツールをダウンロード・実行して現在のドライバーを正しく削除する
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&os=10013&dlid=dlf013746_000&flang=1001&type3=1039

5.コンピューターを再起動させる（シャットダウン→電源オンではダメ）

6.下記よりフルパッケージをダウンロード・実行して画面の指示に沿って進み、パソコンとの接続方法を選ぶところで電源を入れて、プリンターを検知させる
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&os=10013&dlid=dlf105422_000&flang=1001&type3=11

プリンターを検知し、正しく導入できたら、下記の差分を適用する
※すでに最新版適用済みとされたものは省略可。

ファームウェア更新ツール
→プリンター本体の制御プログラムの更新
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&os=10013&dlid=dlf104651_000&flang=1001&type3=1043

ネットワーク診断修復ツール
→次回以降、つながらない場合はこれで簡易診断ができます
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&os=10013&dlid=dlf104495_000&flang=1001&type3=1245

ソフトウェア更新通知 アップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&os=10013&dlid=dlf103742_000&flang=1001&type3=10342

ステータスモニターアップデートツール
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadend.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&os=10013&dlid=dlf105642_000&flang=1001&type3=1326

これでいけるかどうか確認してみてください。

プリンターの無線LAN利用経験不明なので初歩的な部分になりますが

有線LANと無線LANの同時利用はできません
プリンターを操作パネルから無線LAN利用で無線LAN機器と通信できるよう設定しておく
パソコンにメーカー提供のプリンタードライバーをインストール

ビジネスプリンターでもあり企業ネットワークセキュリティが施されている場合は担当者に聞いてみて下さい

パソコン情報不明なので　ドライバーが提供されていないOSの場合は簡易的な利用しかできないかも知れません

無線LAN（wifi）ルーターの電源OFF/ONで解決しない場合。

市販の無線LAN（wifi）ルーターを利用されているならば
NTTのルーターと市販の無線LAN（wifi）ルーターで二重ルーターになっているのが原因かもしれません。
参考に　二重ルーターとは？簡単にできる確認方法と解消の仕方
https://naruhodo-wifi.com/double_router/

ブラザーQ&A　も参考に
無線LANに接続できません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10314?a_id=13077&p=1&session=8yzhRG9q

解決しない場合
無線LAN接続が不安定なのかもしれません。
有線LAN、あるいはUSB接続に変更をおすすめします。

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5800cdw&os=10013
パソコンのOSに合わせる
↓
ユーティリティソフトウェアのアンインストールツールでドライバーのアンインストールをします

https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/snavi24/wlan/pdf/W0019.pdf
１.無線ラン情報の確認
以下、下に記載されて居ます

まず、機器類（プリンター・PC・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

プリンターの電源を入れられるまでにどのくらいの期間が空いていたのか不明ですが、IPアドレスが変わった可能性は考えられないでしょうか？
また、本体のファームウェアの更新・Windowsの自動アップデート・無線LANルーターのファームウェア自動更新などにより、至る所であらゆる影響を受けている模様です。
その場合、プリンタードライバーを入れ直して最初から登録しなおすのが手っ取り早い方法かもしれませんね。
以下ページのリンク先などで対処をしてみてはいかがでしょうか？

改善しなければWi-Fiの設定を見直してみてはいかがでしょうか？
・設定を確認後、再起動
・ネットワークケーブルの抜き差し（正しい順番での再起動）
・認証や暗号化方式がWPA3やWPAになっていればWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzになっていれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する
※二重ルーターになっているかどうかは以下ページの要領で確認できます。
https://internet.watch.impress.co.jp/docs/column/homewifi/1141132.html
・工場出荷状態に初期化（つまようじリセット）


【インクジェット/レーザー プリンター】オフラインと表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10258

【インクジェット/レーザー プリンター】ステータスモニターに「オフライン状態です」と表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10259/

【インクジェット/レーザー プリンター】お困りごとナビ　パソコン印刷できない
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13074

【インクジェット/レーザー プリンター】(Windows)ネットワーク接続でインストールできません
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10279

ソフトウェアダウンロード
※フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
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https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx