同一ネットワーク上でも認識されない

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6983cdw
こちらですね。

【インクジェット/レーザー プリンター】(macOS)ネットワーク接続でインストールできません
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10280
他の方が回答されていますがプライバシーセパレーター機能が有効になっていないか？ルーターの設定を確認して見るとか。

ウェブブラウザーを使用して製品の設定を変更する
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_mfc6583cdwa_jpn/doc/manual/index.html#GUID-B9C82443-2E3C-438B-964E-7FF9A63A0C4A_463
ウェブブラウザー設定にアクセスする
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/cv_mfc6583cdwa_jpn/doc/manual/index.html#GUID-38AF46DB-3219-46C6-A242-A0F83ED4B229_465
を参考にiPhoneのブラウザでプリンタのIPアドレスを指定して設定画面が開けるのか？確認して見るとか。開けるようなら少なくともプリンタと通信は出来ていることがわかります。

iPrint&Scanの場合　最下段の青い部分をタップし　ネットワーク接続済み（アプリで設定済）　ネットワーク未接続（アプリに未登録）をタップして検索してみて下さい

初期設定の場合は「ネットワーク未接続の製品」を選択

＞自宅Wifiに接続し、iPhoneも同じネットワークに接続した
無線LAN機器の設定を手動で設定された場合は経験が無く分からないです
電波が届く範囲で一般的なWPSやAOSSの自動設定を利用されていれば見つかるはず

同じネットワーク　どのような機器か不明なので　パソコンであればパソコンから印刷できる？　パソコンの前でiPhone操作した場合は？
プリンター本体のメニュー　Wi-Fi　で無線状態の結果に問題はない？

この機種はiPrint&Scanを使用しての印刷となりますね。
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj6570cdw&os=112

こちらはご覧になられましたでしょうか？
【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末とブラザー製品を接続する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13087/

・無線LANルーターの再起動
・スマホ/タブレットの再起動
・プリンターの再起動
・スマホ/タブレットのアップデート
・アプリのアップデート
・スマホ/タブレット＆プリンターのネットワークリセットをして最初から接続をやり直してみる
・Brother iPrint&Scan　⇔　AirPrintでためしてみる
・プリンター本体の操作でネットワーク初期化＆スマホも再登録してみる

改善すると良いですね。

【インクジェット プリンター】お困りごとナビ　年賀状の印刷ができない
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13062/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末とブラザー製品を接続する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13087/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/

【インクジェット プリンター】「Brotherはがき・年賀状プリント」を使いたいのですが、スマートフォン／タブレット端末に「対応する製品が見つかりません」と表示されます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10143/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
↓↓↓↓↓
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

また、Wi-Fiの設定を見直すことができるのであればやってみてください。
・認証暗号化方式をWPA/WPA2-PSK（AES+TKIP）にする
・5GHzになっていれば2.4GHzにする
・IPv6になっていればIPv4にする（IPv6非対応機種の場合）
・プライバシーセパレーターがONになっていればOFFにする
・ルーター機能付モデムとは別に無線LANルーターを取り付けられているのでしたらブリッジモードなど適切なモードになっているか確認する

プライバシーセパレーター機能（に相当する機能）が有効になっていませんか？
https://www.buffalo.jp/support/faq/detail/16054.html