用紙トレイが途中でとまり奥まで差し込めない

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj567n
こちらですか。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2022/10/03）

となってますね。


【インクジェット プリンター】記録紙トレイが抜けませんまたは引き出しにくかったり差し込みにくい
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9743
他の方が回答されていますが上記あたりを確認してみるぐらいでしょうか…

逆のケースですが、参考になりますでしょうか？

表示が出ている所以外も開けられる所を全て開けて紙片や異物が内部に挟まっていないか確認してみてください。
『トレイと本体の間の3cmほどの隙間に手をかけます。
本体がわずかに持ち上がる程度浮かせた状態で、トレイを引き抜きます』

以下ページの対処法でもできませんか？
一旦奥まで押し込んだり、電源をON⇔OFFしたり、操作パネルでいろんな操作ためしたり、背面などのカバーを外したりして【中で引っかかっているもの】を動かさないことにはトレイを引っ張り出せないのではないでしょうか。
強引に引っ張ってしまうと破損してしまいますのでご注意ください。
ご自身で動かせないようでしたら残念ですが、修理依頼するしか方法がありません。

1.記録紙トレイを一旦奥まで差し込んで一気に引き出して下さい。
　
　※もし抜けない場合は下記を試してください。
　背面カバーをはずし、記録紙トレイの上の2個のグレーのゴムローラー
　中央部にある記録紙を抑えている白い樹脂の部分をペンなどの棒状の
　もので持ち上げて頂き、持ち上げたままでトレイを引き出して下さい。
　引き出すことが難しければ背面から記録紙トレイを押し出して下さい。
　　　　
　※ご注意※
　　指で白い樹脂部分を持ち上げますとトレイと本体の間に挟まれる
　　危険性が御座いますので、必ずペンなどで持ち上げて下さい。
　　トレイを引き出す時はあまり勢いよく引き出さない様に御願い致し
　　ます。
　　
2.トレイ正面から見て右脇奥にある凹部（カム面）を乾いたティッシュ
　等で拭いて頂き、樹脂粉等の汚れをお取り下さい。

3.後に指で凹部を何度か擦る様に触って頂き、凹部にバリなどが出て
　いない事をご確認下さい。

4.記録紙トレイを本体に戻して頂き、トレイの引き出しが出来るかご確認
　願います。

5.もし上記の手順を行なって頂いた後にも動作が渋い場合には、1.の方法
　でトレイを引き出して頂き、水またはサラダ油を凹部に薄く塗布して
　頂き、再度動作確認を御願い致します。
　尚、油脂はサラダ油以外は塗らない様に御願い申し上げます。
　また大量に塗布されない様に御願い致します。
　付け過ぎると記録紙等についてしまう恐れがあります。

【インクジェット プリンター】記録紙トレイが抜けませんまたは引き出しにくかったり差し込みにくい
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9743

実際に解決された方のお声も参考になさってみてはいかがでしょうか？
『一度本体を浮かして強くスライドしたら動きました。あまり動かさない部分なので滑りが悪くなっていたようです。』