プリンター初期設定：DCP_926nでWi-Fi接続中にパスワード変更が必要なエラーが発生

ファームウェア更新の案内はプリンター本体の液晶パネルに表示されるのでしょうか？

無線LAN利用でインターネット回線に繋がっていれば本体操作パネルからパスワード無しでファームウェア更新ができる場合が多いです
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9871/session/L2F2LzEvdGltZS8xNjkyODM1MzYzL2dlbi8xNjkyODM1MzYzL3NpZC9mVWpLMG42WmZBOUFZbDBydXlsNmIwMFlZJTdFWk8zdWZYdjVpN2lyRzRfQTF2ZGFQb0JYMUplMnBOSzR5NVBSM1pKaVBYd19yJTdFc3pEaDVtVHN5NnNTSUtKdUZsWkgzVl9FcDAzalg1QmtGWXlxSnB1eHlrek5SdG9BJTIxJTIx

このパスワードは変更できる仕組みは無いと思います

無線LAN機器や携帯電話のファームウェアについては不明

管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

パスワードの初期値は、以下のいずれかです。
・製品の背面または底部に貼ってあるラベルに記載された「Pwd」の後に続く8文字。

パスワードが貼付されている場所は、製品によって異なります。

・ラベルがない製品は、「initpass」または「access」です。

プリンターの背面にバーコードがついたラベルを正しく入力しても、
ファームウェア更新でパスワード認証システムに不具合が生じ正しいパスワードを入力してもうまくいかない場合もあるようです。
ラベルに「Pwd」の表記がない・またはラベルがない場合の
パスワードの初期値は、「initpass」または「access」です。
パスワードを設定していない場合は空欄でそのままいける場合もあります。
御確認ください。

【インクジェット/レーザー プリンター】管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】リモートセットアップなどを使ってパソコンから本製品にアクセスしようとすると、パスワードの入力を求められます
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9601

パソコンからは上手く更新ができなくても、本体操作によってパスワードを使用しなくてもファームウェア更新をすることができるようです。
どうしてもパスワードが通らない場合は一旦プリンター本体の操作でリセットしてみてはいかがでしょうか？
また、プリンタドライバーやアプリを入れ直すことで改善した例もありますのでご参考までに。

【インクジェット/レーザー プリンター】ネットワークの設定値のリセット（お買い上げ時の設定への初期化）方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9985

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】パソコンを使って本製品の設定を変更する際に入力するパスワードの設定方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13161/