トナーが定着せず、文字が手につく問題について

おそらく定着ユニットを交換する必要があるかと存じます。
その交換されたトナーはいつ購入され、どういう保管状態でしたか？
また、再生品などはご使用されていないでしょうか？
純正品でも大容量トナーだと不具合が出るケースが散見されます。
吸湿によりトナーが均等に吐出されていないのではないか確認されても良いかもしれません。
一旦トナーを抜き出し、トンットンッと塊をほぐし、均等にする感じで振ってみてください。
もし、少しでも改善するようでしたらトナーが原因です。
交換されてすぐでしたら、トナーやドラムの初期不良も考えられます。

あととりあえず、内部の清掃をしてみてはいかがでしょうか。
・LEDヘッドの清掃(あれば)
・コロナワイヤーのクリーニング
・ドラムユニットの清掃
・給紙トレイの清掃
・給紙ローラーの清掃
・ファームウェアを更新
・ドライバーの再インストール
・トナーの交換
・ドラムの交換
下記で改善しないのであれば定着ユニットの可能性がありますので修理依頼ですかね…

【レーザー プリンター】印刷が薄い・かすれる(モノクロレーザープリンター・複合機)
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10246

【レーザー プリンター】印刷が薄い・かすれる(カラーレーザープリンター・複合機)
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10247

【レーザー プリンター】印刷の色合いがおかしい(カラーレーザープリンター・複合機)
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10248

【レーザー プリンター】印刷すると横線が入る
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10249

【レーザー プリンター】印刷すると黒や色つきの縦線が入る
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10250

【レーザー プリンター】印刷すると白い縦線が入る
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10251

【レーザー プリンター】印刷すると点々がつく
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10252

【レーザー プリンター】印刷結果を指でこすると、汚れます
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10253

【レーザー プリンター】印刷面が汚れます
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10254

【レーザー プリンター】お困りごとナビ　レーザープリンター・複合機印字結果が良くない
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13071

ドラムユニットが寿命なのではないでしょうか？
https://www.brother.co.jp/product/printer/laserprinter/hll2375dw/accessory/index.aspx
トナーだけ変えるのではなく、ドラムユニットも定期的交換しないとだめですよ。別メーカーの機種ですが、最近トナーを変えてもかすれが治らずドラムを変えたらくっきり印刷出来るようになりました。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=hll2375dw
こちらですね。

【レーザー プリンター】印刷結果を指でこすると、汚れます
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10253
あたりを参考にして見るとか。