【DCP-J4143N】

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj4143n
こちらですか。

https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/dcpj4143n/spec/index.aspx
手差しトレイでは無く用紙トレイに用紙をセットするとか。
「エーワンのマルチカード」だけでは品番・型番がわからないので何とも言えませんが結構厚みがある用紙なのかな？とは思います。それだと用紙トレイにセットした場合にプリンタ内部で用紙が詰まったりする危険はありますね…

それと念の為、ですがA4 普通紙の印刷などはスピードが遅いって事は無いのか？確認しましょう。
無線LAN接続の場合は無線LANの接続状況によってはデータの転送に時間が掛かり結果として印刷が開始されるまでの時間が長くなったりするので。

まず、機器類（プリンター・PC/スマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。

付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入れ直す事により改善する可能性があります。

・プリンター本体の操作でネットワーク初期化をしてプリンターの電源を切る
　※この時USB接続されている場合は抜いておく
・一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーを再インストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

改善しなければ以下項目について対処後、再度試してみてはいかがでしょうか？
　※標準ドライバーがインストールされていたらそれも削除
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用する
　※コントロールパネルでのアンインストールツールを試してみる
　※セキュリティソフトを一時停止する
　※フルパッケージではなく、一つ一つインストールする
　※付属CDを使用してみる
　※プリンター本体を購入時状態に初期化する

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx