パスワード入力でアップデートできない

プリンターの背面にバーコードがついたラベルを正しく入力しても、
ファームウェア更新でパスワード認証システムに不具合が生じ正しいパスワードを入力してもうまくいかない場合もあるようです。
ラベルに「Pwd」の表記がない・またはラベルがない場合の
パスワードの初期値は、「initpass」または「access」です。
パスワードを設定していない場合は空欄でそのままいける場合もあります。
御確認ください。

【インクジェット/レーザー プリンター】管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】リモートセットアップなどを使ってパソコンから本製品にアクセスしようとすると、パスワードの入力を求められます
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9601

パソコンからは上手く更新ができなくても、本体操作によってパスワードを使用しなくてもファームウェア更新をすることができるようです。
どうしてもパスワードが通らない場合は一旦プリンター本体の操作でリセットしてみてはいかがでしょうか？
また、プリンタドライバーやアプリを入れ直すことで改善した例もありますのでご参考までに。

【インクジェット/レーザー プリンター】ネットワークの設定値のリセット（お買い上げ時の設定への初期化）方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9985

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】パソコンを使って本製品の設定を変更する際に入力するパスワードの設定方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13161/

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw
こちらですね。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】リモートセットアップなどを使ってパソコンから本製品にアクセスしようとすると、パスワードの入力を求められます
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9601
を見る限りですが

製品の背面または底部に貼ってあるラベルに記載された「パスワード（Pwd）」の後に続く8文字、または「initpass」に設定されているモデル

に該当しますね。

本製品を初期状態に戻す
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfcl3770cdwb_jpn/doc/html/GUID-318A3024-2E7A-4BD8-9871-192A19D9C244_376.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw&broug=in
リセット機能の概要
https://support.brother.co.jp/j/s/support/html/mfcl3770cdwb_jpn/doc/html/GUID-8D2149AC-11BA-47D0-A6E2-7E9DBF486819_377.html?c=jp&lang=ja&prod=mfcl3770cdw&broug=in
どうしてもダメなら「ネットワーク設定リセット」や「全設定リセット」「出荷状態リセット」をすればパスワードはデフォルト値に戻るとは思います。

管理している製品のファームウェアを簡単に更新する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9634

パスワードの初期値は、以下のいずれかです。
・製品の背面または底部に貼ってあるラベルに記載された「Pwd」の後に続く8文字。

パスワードが貼付されている場所は、製品によって異なります。

・ラベルがない製品は、「initpass」または「access」です。