葉書印刷できない

https://download.brother.com/welcome/doc012203/cv_dcp515n_jpn_busr_lx6590047_a.pdf#page=34
スライドトレイに20枚以下でセットしていますか？
1枚だけのセットではどうなりますか？

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj515n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2016/04/01）

となってますね。

https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj515n
「ユーザーズガイド ～基本編～」の34ページを参考にプリンタ本体の操作パネルで記録紙の種類・サイズの設定をやり直すとか。
この本体での設定とWindowsにインストールしたプリンタドライバのプロパティでの用紙の種類・サイズが一致しないとうまくダメかも。

ハガキケースから給紙するようにプリンタ設定で指定してから印刷する必要があるのではないでしょうか？
プリンタはA4のトレイから給紙しようとしているのですよね？

ドライバーを入れ直してみたら如何でしょうか
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj515n&os=92
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。
(USBケーブル,LANケーブル接続の場合,USBケーブル,LANケーブルを外しアンインストール後再起動をかけ再度インストール)
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください
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