スマホからプリンターにつながらない

ローカルネットワークはオンになっておりますでしょうか？
再起動やアプリは入れ直されてみたでしょうか？
以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？
印刷できないのであれば、お使いのOS・プリンター・ハガキアプリのいずれかの相性問題で対応しきれないとあきらめるしかなさそうです…。
ご質問者様のandroid OSバージョンが不明ですが、最新バージョンになさっているということはありませんでしょうか？
非常に残念ですが、OSをアップデートしたり、最新版のOSを所持されている方において、不具合が散見されます。
メーカーとしても対応しているのでしょうけれども、如何せんOSの更新が目まぐるしいため、対応に追われている状況が続いて大変苦慮されていることではないでしょうか。
どうかメーカー側は放置しているわけではないため、温かい目で見守ってあげると良いかもしれません。

ユーザー側としての対処法として、OSの更新を遅らせるなど周辺機器の対応状況も考慮されると今後のトラブル防止に繋がるかもしれません。

他のバージョンの古いスマホで印刷したり、PCを利用して印刷してみてはいかがでしょうか？

年賀状印刷サポート
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https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/nenga/

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
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https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/

【インクジェット プリンター】「Brotherはがき・年賀状プリント」を使いたいのですが、スマートフォン／タブレット端末に「対応する製品が見つかりません」と表示されます
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10143/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
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https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
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http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

下記方法で試してみてください
Androidスマートフォンをかざして印刷(NFC)
https://www.youtube.com/watch?v=YmfYlBvm_Dc

Wi-Fi Directのワンプッシュ機能を利用して、パスワード入力無しでスマホと複合機を接続する （Android編）
https://www.youtube.com/watch?v=62s6AdtveGs

ルーター経由で複合機とandroidスマホを接続する
https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=w6vCtGeR7ho&embeds_referring_euri=https%3A%2F%2Fallindiakmcc.com%2F&feature=emb_imp_woyt

Brother iPrint&ScanでWebページを印刷する（Android編）
https://www.youtube.com/watch?v=0Y5vAFJTRKE

Brother iPrint&Scanをインストールする（Android編）
https://www.youtube.com/watch?v=Bn-zeWCURxE