トナーカートリッジ交換後に、何をすればよいか

ダメでしたか。
ユーザー側で出来ることは新しいトナーカートリッジを再度買って取り付け直して見るとかでしょうか。ただトナーカートリッジは決して安くは無いのでそう簡単に買い直すって言うのは難しいですね…
あとはプリンタ本体にあるトナーを検知する端子部分を綿棒などで掃除してみるとかでしょうか。

先の回答でも書いてますが既にメーカー修理は出来ませんのでプリンタ自体の買い替えも本気で考えても良いかも知れませんね…

この手のトラブルはこの機種に限らず非常に多く散見されますが、
「右寄せ」で解決された事例が少なからずあるようです。

ACコードの抜き差しでの初期動作で解決されるかも。

また、「まもなくトナー交換」とのことなら
トナーの存在は検知しているので下記情報が参考になるかもです。
トナー購入店に相談もありですね。
https://ecoink.in/products/list/2083
「プリンタ内部のセンサースイッチを押して残量カウンタのリセットが実施されることで、残量がフルの状態に回復します。トナーカートリッジを交換しても交換表示が消えない場合、この残量カウンタのリセットが何らかの理由により上手く行われなかったことを示します。一度プリンタの電源を切ってからトナーカートリッジを再装着し、再度プリンタを作動させることで残量カウンタのリセットが上手くいく場合もありますが、それでもリセットが行われなければセンサースイッチを動作させるための機構に何らかの不具合が生じており、トナーカートリッジ自体を再度交換しなければならない可能性が高いです。」

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfc9460cdn
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/10/01）

と修理は出来ません。

【レーザー プリンター】トナーカートリッジの交換方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9849
を参考に電源が入った状態で交換をしましょう。
そしてトナーカートリッジを何度か取り付け直して見ましょう。取り付ける際に右側に寄せる・押し付けるような感じで取り付けてみましょう。