DCP-J572Nのprinter印刷出来ない

・お使いの無線LANルーターのメーカー名と機種名
・お使いのWindowsのバージョン
を補足してください。

>プリンターIDは、ntcm1-e68498-a
プリンターIDとは何を指していますか？
見た限り、SSID（無線LANの名前）のようですが、
末尾が-aとなっているので、DCP-J572Nではつながりません。

>無線LANでインターネットが時々切れてしまう障害
そもそもこれは、
お使いの無線LANルーターを再起動させることで
解消できていた可能性が高いです。
dynabookのサポート担当者がどのような作業をしたのか不明ですが、
仮に、dynabookのサポート担当者によって、
従来ntcm1-e68498-"g"だった無線LAN設定を
ntcm1-e68498-"a"につなぐ設定をしたのなら、

[PC]-(区間1)-[ルーター]-(区間2)-[DCP-J572N]とつないでいる場合、
区間1は、ntcm1-e68498-"a"でルーターとつないでいて、いまはOKかと思いますが、
区間2は、DCP-J572Nの無線LAN設定で、おそらくntcm1-e68498-"g"となっている方のSSIDにつながないといけません。

[PC]-(末尾aのSSID)-[ルーター]-(末尾gのSSID)-[DCP-J572N]
という状態でルーターを介してつないでから、
ドライバーを正しく入れ直すことで回復すると思います。
その手順を書き出すためにも冒頭の情報が必要です。

取りあえずプリンタの電源を切り無線LANルーターの電源も切って5分程度してから再度電源を入れ直しPCを再起動しましょう。

それでもダメなら現在インストールしているドライバをアンインストールしてプリンタの電源を切りPCを再起動して

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadtop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj572n

からドライバをダウンロードしてセットアップを開始し画面の指示に従ってプリンタの電源を入れてドライバを再インストールしてみては？