クリーニングしてもブラックが印刷されない

【本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2019/04/01）】とありますので、解決しなければ残念ですが、買い替えとなります。

まず、印刷品質チェックシートの印刷結果はどのようになっていたのでしょうか？
また、純正インクをご使用でしょうか？
どのくらいの期間、どういう環境にさらされ、どのくらいの量をどのくらいのインターバルで印刷されていたのかわかりかねますが、
おそらくインクヘッドが乾燥もしくはインク残渣の堆積物による目詰まりを起こしているのではないでしょうか。
純正品以外をご使用の場合はこのインク残渣の溜まり方が異常な程溜まりやすいです。
もしくはインクを入れ替えたのでしたらその際に気泡が生じ、気泡が消える（落ち着く）まで印字できない状態になっている可能性があります。
インクカートリッジを変えたから、ヘッドクリーニングして良くなったからといってすぐ改善することはほぼありません。
また1日にヘッドクリーニングを何十回してもさほど効果はありません。
時間を置いてから改善しているか状況を見ながら
毎日、ヘッドクリーニングを4回その後電源プラグを抜き1日放置
これを繰り返して良くなれば回復の可能性がありますが…
ファームウェアの更新やプリンタードライバーを入れ直して改善したというケースもありますのでご参考までに。
改善の見込みがなければ修理となりますが、補修用性能部品の保有期間を既に過ぎている製品であれば、
修理をすることができませんので、残念ですが買い替えとなります。
以下、参照願います。

【インクジェット プリンター】インクが出ない/白紙になる/色合いがおかしい
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10644/

https://xtech.nikkei.com/it/pc/article/NPC/20060329/233793/
プリンターインクには使用期限があります
インクは純正でなければ、６ヶ月～インクの粘度が上がりプリンターヘッドが詰まります
汎用インクをセットした日にちを記憶して置き「詰まった」と思った時「新しい純正インク」に取り換えヘッドクリーニングすれば回復します(経験済み)がクリーニングを5回したのであれば回復するかは分かりません
参考まで↓
https://www.ecotte-shop.com/contents/printer-ink-expiration/

MFC-J6710であれば、2011年発売の製品になりますね。
https://www.itmedia.co.jp/pcuser/articles/1105/18/news018.html
質問者様もかれこれ10年程度使用されているものと推察されます。

で、症状から言うとおそらく「純正ではない互換インクを使用したことで、ヘッドが目詰まりしてしまった」ことが原因と考えられます。
純正インクと互換インクでは、インク自体の品質が同一ではありません。粘度が違う、インク自体の粒の大きさが違う、等の差があるため、トラブルの原因となりやすい、というのが実情です。
購入後かなり時間が経っていることからもともと経年劣化していた（＝今までのインクの汚れやゴミが溜まっていた）ところに、非純正のインクを使用してクリーニングを繰り返したことでトドメを指してしまった、というのが実際のところかと思われます。
ブラザーでの修理対応も既に終了しています(2019/3/31）ので、残念ながら「寿命」ということで買い替え以外の選択肢はないかと思われます。
参考　Brother　部品供給年限切れ製品　一覧
https://www.brother.co.jp/product/support_info/repair_serv/expiration/index.aspx

以上、ご参考まで。