AirPrintでプリンタが見つからない

※３　有線/無線ネットワークの両方に対応していますが、接続は排他的（有線/無線のどちらか一方）になります。

ネットワークアドレスを１つしか利用できないのでプリンター側で有線に設定している場合は無線（Wi-Fiダイレクト）が使えません

iPhone未使用　有線LANでプリンター未使用なので憶測になりますが
iOSスマホ？も無線LAN機器を経由させる事で利用可能になるかも知れません

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=mfcj5620cdw
こちらですね。

取りあえずプリンタの電源を切りルーターの電源も切って数分してから電源を入れ直してみましょう。

AirPrintの設定を始めからやり直してみるとか。
また「Brother iPrint&Scan」ってアプリから印刷ができないかも確認してみるとか。

【インクジェット プリンター】操作パネルから手動設定で無線LANに接続する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10301
また念の為、プリンタ本体の操作パネルから無線LAN接続をやり直してみるのはどうでしょうね。

れぞれの機器がWi-Fiに接続されていてもスマホ〜プリンター間が正常に接続できていなければ意味がありません。
プリンターの電源を入れられるまでにどのくらいの期間が空いていたのか不明ですが、IPアドレスが変わった可能性は考えられないでしょうか？
その場合、アプリを入れ直して最初から登録しなおすのが手っ取り早い方法かもしれませんね。
スマホからハガキ印刷の場合はハガキ印刷アプリを使用することになります。
また、Webアプリを通しての印刷/登録の場合、混雑状況によってうまくいかない場合もあるようです。
・無線LANルーターの再起動
・スマホ/タブレットの再起動
・プリンターの再起動
・スマホ/タブレットのアップデート
・アプリのアップデート
・スマホ/タブレット＆プリンターのネットワークリセットをして最初から接続をやり直してみる
・プリンター本体の操作でネットワーク初期化＆スマホ/タブレットも再登録してみる

他に、ハガキ印刷されるのでしたらハガキ印刷に対応したアプリを使用されておりますでしょうか？
https://online.brother.co.jp/ot/dl/nenga/apps/


改善すると良いですね。

スマートフォン/タブレット用アプリの対応状況
↓↓↓↓↓
https://support.brother.co.jp/j/s/support/iprint_scan/?__CAMCID=GCepbmkAFw-183&__CAMSID=DoFpVbidtFe-33&__CAMVID=wotdSJbGgd&_c_d=1&_ct=1561622308870

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から印刷やスキャンをする方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10137/

スマホから印刷してみましょう(ブラザーサポートブログ)
↓↓↓↓↓
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2015/04/post-8de4.html

【インクジェット プリンター】スマートフォン／タブレット端末から年賀状を印刷する方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13366/

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/