Lavie PC-GN287 HDMI外部出力において問題発生！どうすれば解決する？

他のノートPCに振り替えれば正常。ということであればそのLavie PC-GN287との相性の問題かもしれませんね。

ドッキングステーションのドライバーアップデートやNECのシステムアップデートで改善すれば良いのですが…無理なようであれば非常に残念ですが、不可能かと存じます。

販売店にご相談されて返金対応をお願いしてみるのも一案です。

先の方が回答されている様に、下記のようなドッキングステーションを購入して、電源ケーブルはドッキングステーションに差して、元の電源ポート（ 奥側のType-Cポート ）に差してみては如何ですか？
なお、すべてのディスプレイへの出力を保証出来ませんが…

USB Type-Cモバイルドッキングステーション ロングケーブル 7in1 4K/60Hz対応 HDMI出力 SD/microSDカードリーダー USB×2 PD100W LAN イーサネット
https://direct.sanwa.co.jp/ItemPage/400-HUB090BK

https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-GN287UUAS
こちらですね。

https://www.nec-lavie.jp/navigate/products2/pc/211q/01/lavie/pm/interface/index.html
https://www.nec-lavie.jp/navigate/products2/pc/213q/10/lavie/pm/spec/index02.html
他の方が回答されていますがPC本体左側面の2つあるUSB Type-Cで奥側の1ポートしかDisplayPort出力機能がついてはいません。
そちらに

https://www.elecom.co.jp/products/DST-C17SVEC.html
を接続しているでしょうか…

エレコムのサポートに問い合わせしたらいかがですか。結果、もし、不具合の原因がドライバ関係なら以下から手動で更新プログラムを適用可能です。

https://www.elecom.co.jp/support/index.html

PC-GN287UUAS修正プログラム　→　https://support.nec-lavie.jp/driverlist?productId=PC-GN287UUAS

こちらのPCですね。
https://www.nec-lavie.jp/navigate/products2/pc/211q/01/lavie/pm/interface/index.html
左側面にUSB Type-C端子が２つ搭載されていますが、ひょっとして手前側（micro SDカードスロットのすぐ左隣）のType-C端子へ接続されていませんか？
画面出力を行うためには、奥側（ヒンジに近い方）の端子に接続する必要があります。
まずは接続端子が合っているかどうか確認されることをお勧めします。

以上、ご参考まで。