ウィンドウズ8.1から10に変更する方法はあるのか？

ユーザーが勝手に１０にしたものを修理するメーカーってあるんですね。
メーカーに聞いてみるのはありだと思いますよ。有償でもやってくれるなら相当親切です。

さて、本体が交換されていなければWindows10に戻すことは出来ます。本体というか、プロダクトキーが同じなら問題ないはずです。

マイクロソフトのアカウントで登録してあれば可能かもしれません、
Windows10を使っていたという証拠はHDD内にあり、その情報を元にWindows10にできると言う事ですから、HDDを交換して情報がない状態では無理だと思います、アカウントに貴方が登録していれば使っていたという証拠ですから出来ると思います。
本来なら、バックアップ、もしくはクローンHDDを作っていれば、復元できるからHDDが変わってもハッシュコード（CPU,マザーボード、HDDなどに登録されているその製品固有の番号から作られるコード）が大幅に変わらないので、認証されます。
＞メーカーに掛け合って１０にしてもらうことは可能でしょうか
メーカー独自の判断ですから解りません。

一度Windows10にアップグレードしたパソコンは、いつでもWin10に戻せます。パソコン自体にライセンスが与えられているからです。
下記サイトからWindows10のインストールメディアをダウンロードしてインストールすればいいです。フルインストールもアップグレードインストールも出来ます。
https://www.microsoft.com/ja-jp/software-download/windows10

https://www.microsoft.com/ja-jp/software-download/windows10
ツールをダウンロードしてDVD-Rに書き込み、インストール出来ます。
Windows8.1からのアップグレードと違い、ドライバーなどは、
Windows10のものが適用になります。
Windows10に対応していない機器は動作しない場合が有ります。
製造メーカーからダウンロードしてインストールする事になります。
マイクロソフトで自動認証されない場合は、以前にアップグレード
した時のプロダクトキーを入力しなければなりません、プロダクトキーを
覚えていますか？覚えていない場合は、電話認証になります。
結構面倒臭いのです、バックアップを取ってなかったのですから、
しょうがないですね。

ここからは御節介の回答です。
お使いのパソコンがタブレット型かタッチパネルに対応していなければ
Windows8.1で使い続けた方が宜しいと思います。
８月に行われたWindows10のUpdate1701(Anniversary)はタッチパネルに
対応していない小生のノートパソコンでは、使い勝手が悪くなり、要らぬ
Updateでした。
Xboxへの同期機能をはじめとして不要なアプリが多数入り、マイクロソフト
が無料で配布した嫌な商魂が丸見えです。
目下、Windows8.1に戻そうか思案中です。

こちらの記事には、一度、アップグレードしたPCでは、「ハードウェア構成」を変更していなければ、認証は済んでいるので、再アップグレードが可能としています。
詳しくは、Microsoftに問い合わせた結果（５月の段階のやり取り）のようです。
（Windows 10 無償期間が過ぎても無償アップグレードを維持する方法）
http://tanweb.net/2016/05/12/7839/

で、上のページの下の方に「Windows10無償期間後にHDDを変更して再アップグレードできるかを試してみました。」（８月１３日投稿）とのリンクがあり、そのページが次です。
（Windows10無償期間後にHDDを変更して再アップグレードできるかを試してみました）
http://tanweb.net/2016/08/13/9819/

HDDはSSD（HDD）のようですが、win10にアップグレードできたとのことです。
Microsoft（Answer Desk サポート）に事前に問い合わせて、事情を説明すると確実かもしれないです。