LAVIE NS10E/Mのメール送信時にプロダクトナンバーの入力が必要な理由を教えてください

https://support.nec-lavie.jp/product-info?prodId=PC-NS10EM2W
このあたりのPCでしょうか？出来ればPC本体の底面には貼られたシールに記載されている正確な型番を書きましょう。

それとメールの送受信に使っているソフトは何でしょう？プロダクトキーの入力を求めてくるって事はPCの付属しているOutlook 2019でしょうか？

Office 2016をインストールする方法
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=018897
上記は2016ですが2019でも同様です。恐らくこのあたりの設定は済んでOutlook 2019を使用中なのかな？とは思います。
使用中にプロダクトキーの入力を唐突に求めてきたりは普通はしませんね。

Office 2019のプロダクトキーを紛失した場合の対処方法
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=021327
上記のように紛失した場合の対処法はありますが今回の場合だと

Office Premiumのプロダクトキーを紛失した場合の対処方法
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/qadoc?QID=018668
当たりを参考にすると良いでしょう。上記はOffice PremiumですがOffice 2019でも同様の手順でプロダクトキーを確認することは出来るのでそちらのプロダクトキーを入力してみるとか。

Officeのライセンス認証がまだされていません。Officeのプロダクトキーを入力して下さい
https://faq.nec-lavie.jp/qasearch/1007/app/servlet/relatedqa?QID=018324

以下のような、購入時のOfficeのプロダクトナンバーを入力してみてください。
XXXXX-XXXXX-XXXXX-XXXXX-XXXXX