WiFiへ接続できない

https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj577n&os=10013
ユーティリティソフトウェアのアンインストールツールでドライバーのアンインストールします
　　　↓
ルーター経由でパソコンと接続する
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j572/wlan_jp/pc/lan/index.html
製品に同梱されているCD-ROMは使いません
使えない場合は、こちらからフルパッケージインストーラーをダウンロードしてください。

フルパッケージインストーラーのダウンロード←ここでDCP-J557Nを選びます
ダウンロードしたフルパッケージインストーラーのファイルをダブルクリックで起動してください。

2. 動画を見ながら、パソコン側の設定を行なってください。動画通りに進んだら、次の手順へ進んでください。

後は画面の説明と指示に従えば出来ると思います

pcとusbケーブルでの接続運用に切り替えて見たらいかがでしょうかね。

プリンタの無線LAN運用は、電波環境によっては遅かったり、止まったりで、ルーター、プリンタ、pcの再起動、はたまたドライバーの再インスト対処とかストレス溜まることばかりかと。

CDからドライバーを入れるのではなく
下記から各PCのWinバージョンに合わせたドライバーをインストールして下さい
https://support.brother.co.jp/j/b/downloadlist.aspx?prod=dcpj557n&c=jp&lang=ja&os=10013
ここにあるアンインストールツールで一旦ドライバーを削除し,PCを再起動する。
そして、ここからPCのOS(bitも合わせる）に合わせたフルパッケージを再インストールしてください。
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<参考>
インストールプログラムのダウンロード手順とプリンタードライバのインストール手順
https://support.brother.co.jp/j/s/support/information/faq/install/pdf/INS0031.pdf
(4)から進めれば分かりやすいでしょう。

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/
機種を選択して操作方法を確認してください

Edgeの場合ですと、以下のような症状が確認されております。
https://www.nichepcgamer.com/archives/microsoft-edge-print-problem-ver-109.html

Webページ以外の印刷は正常なのでしょうか？
PDF化してから印刷してみるとか。
また、他のブラウザ（Chrome・Firefox・Safari等）でも同様な症状でしょうか？

Web上のものを印刷する時であれば、「Ctrl＋Shift＋P」でプリンター選択画面を出し、そこで適切なプリンターを選択することで印刷設定が可能となります。

まず、接続を直さなければいけませんね。機器類（プリンター・PCスマホ・無線LANルーター等）の再起動をして改善するか確認してみてはいかがでしょうか。
あとはプリンタードライバーを入れ直してみてはいかがでしょうか？