FAX-300CLでFAX送信、コピーができないトラブルの原因と対処法

故障の可能性が高いですが一応以下の手順を試してみてください↓
https://support.brother.co.jp/j/b/manualtop.aspx?prod=fax300cl

1.原稿が正しく挿入されているか確認してください。FAX送信を試みる前に、原稿が正しく挿入されているかどうかを確認してください。原稿が正しく挿入されていない場合、FAX機は原稿を引き込めません。原稿を挿入する際には、原稿の向きが正しいことを確認し、原稿フィーダーにしっかりと挿入されていることを確認してください。

2.紙詰まりを確認してください。FAX送信が失敗する別の原因は、紙詰まりが発生している可能性があることです。紙詰まりが発生している場合、FAX機は原稿を引き込むことができません。FAX機から原稿を取り出し、紙詰まりが発生している箇所を確認してください。必要に応じて、詰まりを解消してください。

3.機器のリセットを試みてください。FAX機をリセットすることで、問題が解決される場合があります。FAX機を電源から切り、少し時間をおいてから再び電源を入れてください。これにより、FAX機の一時的な問題が解決される場合があります。

4.サポートを受けるためにメーカーに連絡してください。上記の手順を試しても問題が解決されない場合は、メーカーのカスタマーサポートに連絡してください。メーカーは、より高度な問題のトラブルシューティング手順を提供することができます。また、必要に応じて修理や交換を行うこともできます。

とりあえず、以下ページの要領で対処してみてはいかがでしょうか？
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10640/

①　表示が出ている所以外も開けられる所を全て開けて紙片や異物が内部に挟まっていないか確認
②　電源プラグを抜き差し（可能であれば１晩放置）
③　厚紙を電源を切った状態でトレイにセットし、電源を入れる
④　給紙ローラーの清掃
⑤　排紙ローラーの清掃
⑥　エアダスターなどでホコリを飛ばす
⑦　付属や市販の紙詰まり解消シートを使用

内部ローラーの清掃など行った上で、紙詰まりが見当たらないのに紙が送れなかったり紙詰まりエラーが消えない場合は異物噛み込みや内部に紙片がはさまっていたり、内部部品の損傷や不具合であったり、
給紙ローラーや排紙ローラーの内部部品のローター軸劣化による不具合やセンサー故障で本来修理となるべき故障の可能性が高いです。
ほとんどの場合がローラーにホコリ・ゴミ・インク付着物・紙くずなどが付着して摩擦抵抗力が弱っていることが多いです。
指で気持ちサポートする形で押してあげるとうまくいったりするケースもあるようです。
プリンターの電源を入れ直したりすることにより改善したケースもあるようです。
市販品の紙詰まり解消シートを使用してみるのも一案です。
厚紙を電源を切った状態でトレイにセットし、電源を入れた時に自動給紙させたら改善したというケースもあるようですのでご参考までに。
尚、供給部品の保有期限が過ぎた製品の場合ですと内部部品の経年劣化の故障の可能性が非常に高いです。その場合は残念ですが買い替えとなります。

【インクジェット プリンター】詰まった用紙が取れません/詰まった用紙を取り除いたのにエラー表示が消えません
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10154

給紙ローラーを清掃するには。
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10614/

【インクジェット プリンター】給紙ローラーの清掃方法
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10620

修理もできませんので買い替えだと思われます。
その機種にこだわりがお有りなら中古を買う選択肢もありますが
BROTHER Commuche FAX-300CL 普通紙FAX
https://www.amazon.co.jp/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%82%B6%E3%83%BC%E5%B7%A5%E6%A5%AD-FAX-300CL-BROTHER-Commuche-%E6%99%AE%E9%80%9A%E7%B4%99FAX/dp/B0007OKMN4
￥7,480 税込

FAX-300CLはかなり古い機種ですので、もう寿命なのかもしれません。