MFC-J738DNのトレイが抜けなくなった

表示が出ている所以外も開けられる所を全て開けて紙片や異物が内部に挟まっていないか確認してみてください。
『トレイと本体の間の3cmほどの隙間に手をかけます。
本体がわずかに持ち上がる程度浮かせた状態で、トレイを引き抜きます』

以下ページの対処法でもできませんか？
一旦奥まで押し込んだり、電源をON⇔OFFしたり、操作パネルでいろんな操作ためしたり、背面などのカバーを外したりして【中で引っかかっているもの】を動かさないことにはトレイを引っ張り出せないのではないでしょうか。
強引に引っ張ってしまうと破損してしまいますのでご注意ください。
ご自身で動かせないようでしたら残念ですが、修理依頼するしか方法がありません。

1.記録紙トレイを一旦奥まで差し込んで一気に引き出して下さい。
　
　※もし抜けない場合は下記を試してください。
　背面カバーをはずし、記録紙トレイの上の2個のグレーのゴムローラー
　中央部にある記録紙を抑えている白い樹脂の部分をペンなどの棒状の
　もので持ち上げて頂き、持ち上げたままでトレイを引き出して下さい。
　引き出すことが難しければ背面から記録紙トレイを押し出して下さい。
　　　　
　※ご注意※
　　指で白い樹脂部分を持ち上げますとトレイと本体の間に挟まれる
　　危険性が御座いますので、必ずペンなどで持ち上げて下さい。
　　トレイを引き出す時はあまり勢いよく引き出さない様に御願い致し
　　ます。
　　
2.トレイ正面から見て右脇奥にある凹部（カム面）を乾いたティッシュ
　等で拭いて頂き、樹脂粉等の汚れをお取り下さい。

3.後に指で凹部を何度か擦る様に触って頂き、凹部にバリなどが出て
　いない事をご確認下さい。

4.記録紙トレイを本体に戻して頂き、トレイの引き出しが出来るかご確認
　願います。

5.もし上記の手順を行なって頂いた後にも動作が渋い場合には、1.の方法
　でトレイを引き出して頂き、水またはサラダ油を凹部に薄く塗布して
　頂き、再度動作確認を御願い致します。
　尚、油脂はサラダ油以外は塗らない様に御願い申し上げます。
　また大量に塗布されない様に御願い致します。
　付け過ぎると記録紙等についてしまう恐れがあります。

【インクジェット プリンター】記録紙トレイが抜けませんまたは引き出しにくかったり差し込みにくい
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9743

実際に解決された方のお声も参考になさってみてはいかがでしょうか？
『一度本体を浮かして強くスライドしたら動きました。あまり動かさない部分なので滑りが悪くなっていたようです。』

トレイを逆に入れたら抜けなくなってしまったなら
ある程度力を入れて抜くしかありません。
あとは修理に出すかですね

逆挿しの場合は見えているトレイの端を持って、軽く上下させながら手前に引いていく動作を繰り返すしかなさそうですね。

メーカサイトからの抜粋：
記録紙トレイが抜けにくい場合は、記録紙トレイを一旦奥まで差し込んで一気に引き出してください。

本製品が、平らな面に置かれているかどうか確認してください。
設置場所に凹凸があったり、異物があるとトレイの抜き差しで引っ掛かる場合があります。製品は何もない平らな面に置くようにしてください。

つまった記録紙が記録紙トレイに引っかかっている場合があります。
本体背面にある紙づまり解除カバーを開けて、記録紙がつまっていないか確認してください。

その他のお試し：
トレイと本体の間の3cmほどの隙間に手をかけます。
本体がわずかに持ち上がる程度浮かせた状態で、トレイを引き抜きます。