PCとプリンターの無線LANのみできない。

https://support.brother.co.jp/j/b/producttop.aspx?c=jp&lang=ja&prod=dcpj572n
こちらですね。

本製品は、供給部品の保有期限が過ぎたため、修理対応を終了させていただきます。 なお、修理以外のお問合せについては、このままサポートを継続いたします。（2023/10/02）

と修理は出来ません。


https://www.brother.co.jp/product/printer/inkjet/dcpj572n/spec/index.aspx
を見ると「インターフェイス ：Hi-Speed USB2.0*1、無線LAN」
となってますね。ですので書かれている有線接続はUSB接続の事かな？とは思います。

>プリンターのWIFIには暗号化キーは入力している。
【インクジェット プリンター】操作パネルから手動設定で無線LANに接続する方法
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13203
みたいな感じで接続しているってことでしょうか。

ルーター側での無線LANの暗号化がWPA3のみになっている様ならWPA/WPA2に設定を変更したりプライバシーセパレーターのような機能が有効になっているなら無効に設定するとかでしょうか。

接続は排他的（有線/無線のどちらか一方）になります。
対応認証方式は、オープンシステム認証、共有キー認証、WPA-PSK/WPA2-PSKです。
対応暗号方式はWEP（64/128ビット）/TKIP/AESです。WPSを使う場合は、アクセスポイントが対応している必要があります。

プリンター本体の操作で、ネットワークの切り替えもしくはネットワーク初期化を行ってみてはいかがでしょうか？

その後、プリンタードライバーをインストールし直してみてください。
付属CDを使用するのではなく、ブラザーホームページよりプリンタードライバーを入手してください。

・プリンターの電源を切っておく
　※この時有線接続されている場合は抜いておく
・ブラザーのドライバーをインストールしている場合は、
　一旦、プリンタードライバーをアンインストールしてPCを再起動
　※同じようなプリンタードライバーを登録していればそれも削除
　※ブラザー公式のアンインストールツールを使用してください
　※セキュリティーソフトを一旦停止しておく
・以下ページより、フルパッケージダウンロード 【推奨】を選択しダウンロード
・ダウンロードしたフルパッケージドライバーをインストール
これで症状が改善されるかご確認ください。

ソフトウェアダウンロード
↓↓↓↓↓
https://www.brother.co.jp/download/software/index.aspx

動画で見る！ かんたん無線（Wi-Fi）ガイド
↓↓↓↓↓
https://support.brother.com/g/s/id/wlan_guide/j880/wlan_jp/

[動画]無線LAN接続でドライバーをインストールする(Windows®版)
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=oYSQfzOaQyg

Webページからドライバーをインストールする方法
↓↓↓↓↓
https://www.youtube.com/watch?v=V7pUbPDKogU&feature=youtu.be

【インクジェット/レーザー プリンター・スキャナー】ドライバーのアンインストール方法（Windows、macOS）
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/10363/