モノクロ印刷だけしたい場合

非常に残念ですが、通常、カラーインクを使用しなくても、インクが切れた時点で複合機の機能が使用できなくなってしまいます。
【インクを交換してください】と表示されてしまったのでしたら交換以外の方法がないかと存じます。
インクの交換をしてみてはいかがでしょうか？

一定期間モノクロ印刷可能な機種も存在します。
http://sblog.brother.co.jp/weblog/2019/01/post-1fb4.html
こちらですね。

【モノクロ片面印刷のみ可能】と表示されているときは、一定期間に限りブラックインクでモノクロ印刷を続けることができます。この状態で印刷をする場合、次のことにご注意ください。
・パソコンから印刷をする場合は、印刷設定時、用紙種類を[普通紙]、カラーを[モノクロ]に設定する必要があります。
・コピーの場合は用紙タイプが[普通紙]に、ファクス（MFCモデルのみ）の場合は用紙タイプが[普通紙]または[インクジェット紙]に設定されている必要があります。

残念ですが、裏設定や裏技みないなものはございません。
ご使用状況次第では、
モノクロ専用プリンターを購入し、
カラー印刷の場合はWeb印刷でコンビニ印刷することが経済的で効率が良い方法かもしれませんね。

【インクジェット プリンター】「モノクロ印刷のみ可能です」と表示されました
↓↓↓↓↓
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/9313/

モノクロ印刷でもカラーインクがない（検知されない）と印刷できません。これは仕様です。
マゼンタインクが検知されないのであれば下記を試してみてください

【インクジェット プリンター】「インクを検知できません」と表示されました
https://faq.brother.co.jp/app/answers/detail/a_id/13008

【ブラザーのプリンター】インク交換したのにインク認識しない！
https://rank-king.jp/article/3025
インクカートリッジをセットする箇所に汚れがあるとインクカートリッジを認識しない場合があります。
汚れを拭き取るには、不織布(綿棒、キッチンペーパーなど)でセットする箇所のICチップが接触する部分を拭き取るのが効果的です。
また、インクカートリッジのICチップ側にも汚れがついている可能性があるので、同じように不織布で拭き取りましょう。

これで解決しない場合は、インクのICチップ読み込み部分に不具合がある可能性があるので検知不良としてインク購入店に相談してください。
「純正で型式も間違いないインクカートリッジですが基盤の銅版が4つあるはずのものが３つしかありませんでした」という方も

「インクのICチップに傷がついていました。新品と交換してもらって取り付けると正常に動きました。」という方も居られます。

初期不良の可能性もありますので購入店に相談してください。
初期不良との判断がされれば交換してくれます